数列$a_n$を$\displaystyle a_n=n \left( \frac{81}{100} \right)^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定義する．

(1)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}<1$となる$n$の最小値は$[ア]$である．
(2)$\log_{10}a_{11}$を小数第$3$位を四捨五入して得られる値は$[イ]$である．
(3)$a_n<1$をみたす$n$を小さいものから順に$n_1,\ n_2,\ n_3,\ n_4,\ \cdots$とおく．$n_4$は$[ウ]$である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}1.1=0.0414$であることを利用してよい．

次の空欄$[ア]$～$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$が，$|\overrightarrow{a}|=5$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$，$|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-t \overrightarrow{b}|$の関係を満たすとき，$|\overrightarrow{c}|$の最小値は$[ア]$である．ただし，$t$は実数とする．
(2)整式$f(x)$を$x+5$で割ると余りが$-11$，$(x+2)^2$で割ると余りが$x+3$となる．このとき，$f(x)$を$(x+5)(x+2)^2$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)全体集合$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$の部分集合$A,\ B$について，$\overline{A} \cap \overline{B}=\{1,\ 3\}$，$A \cup \overline{B}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8\}$であるとき，集合$A=[ウ]$である．ただし，$\overline{A}$は$A$の補集合，$\overline{B}$は$B$の補集合とする．
(4)さいころを$4$回投げるとき，偶数の目がちょうど$2$回出る確率は$[エ]$である．
(5)ある細菌は$1$時間毎に分裂して個数が$2$倍になる．最初に$10$個あるとき，$100$万個を初めて超えるのは$[オ]$時間後である．ただし，$\log_{10}2=0.301$とし，整数で答えよ．
(6)複素数$z=a+i$について，$z^4$が実数となるとき，$z^4$のとりうる値は$[カ]$である．ただし，$a$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)関数$f(x)$が$f^\prime(x)=3x+2$と$\displaystyle \int_0^2 f(x) \, dx=4$をともに満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(8)$\displaystyle \sum_{k=1}^{25} (2k-1)^2$の値は$[ク]$である．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)式$(2x+3y+z)(x+2y+3z)(3x+y+2z)$を展開したときの$xyz$の係数は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が$\displaystyle \frac{i}{1+xi}+\frac{x+2}{y+i}=0$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)定積分$\displaystyle \int_{-2}^2 x |x-1| \, dx$を求めると$[エ]$である．
(4)$2^{\frac{1}{2}},\ 3^{\frac{1}{3}},\ 5^{\frac{1}{5}}$の大小関係は$[オ]<[カ]<[キ]$である．
(5)不等式$\displaystyle (\log_2 x)^2+\log_2 \frac{x}{2}<1$を満たす$x$の範囲は$[ク]$である．
(6)半径$1$の円に内接する正$n$角形の周の長さは$[ケ]$である．
(7)座標空間における$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 5)$，$\mathrm{B}(4,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$が一直線上にあるとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$である．
(8)円$x^2+y^2=1$と直線$y=kx+2 (k>0)$が接するとき，その接点の座標は$[シ]$である．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

(1)不等式
\[ \log_2 (5-2x)+2 \log_{\frac{1}{2}} (x+2) \leqq 0 \]
をみたす$x$の範囲は$[あ]$である．
(2)$2$つの関数
\[ f(x)=|\displaystyle x^2+3bx-\frac{b|{4}},\quad g(x)=x^2+3b |x|-\frac{b}{4} \]
の最小値が一致するような$b$の範囲は$[い]$である．
(3)$\displaystyle 0 \leqq \alpha <\frac{\pi}{2}$のとき，関数
\[ f(x)=\sin (x-\alpha) \cos x \quad \left( \alpha \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
は$x=[う]$において最大値をとる．この最大値が$\displaystyle \frac{1}{4}$となるのは$\alpha=[え]$のときである．

$a$は$2^{2 \log_4 48-\log_2 \frac{3}{4}}$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．このとき，

(1)$a$の値を整数で表すと$[$53$][$54$]$である．
(2)$a^{30}$は$[$55$][$56$]$桁の数である．
(3)$b$は，$b^{50}$を小数で表すと小数第$25$位に初めて$0$でない数字が現れる正の数である．このとき$\displaystyle \left( \frac{b}{a} \right)^4$を小数で表すと，小数第$[$57$][$58$]$位に初めて$0$でない数字が現れる．

$\log_2a+\log_2b=1$，$\log_ca+\log_cb=3$（$a,\ b,\ c$は正の実数，$c \neq 1$）がともに成立しているとき，$2 \log_c (a+b)$の最小値を求めよ．

次の関数の最小値を求めよ．さらに，そのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\{\log_2(2-x-x^2)\}^2-2 \log_2(2-x-x^2)+\frac{1}{2} \]

$150$個の整数$2^1,\ 2^2,\ \cdots,\ 2^{150}$に対して，次の設問に答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

(1)最下位の数字が$2$になるものは何個あるか．
(2)$2^{150}$は何桁の数か．
(3)最上位の数字が$1$になるものは何個あるか．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．
\[ 2x^3+15x^2+6x-7 \]
(2)次の不等式を解け．
\[ 2^{2x}-2^{x+2}-32>0 \]
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，青玉$2$個を$1$列に並べるとき，並べ方は何通りあるか．
(4)次の値を求めよ．
\[ 8^{\log_2 5} \]
(5)次の条件をすべてみたす$2$次関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(0)=2,\quad f^\prime(0)=-5,\quad f^\prime(1)=1 \]
(6)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_{-1}^2 (2x^2-4x+3) \, dx \]

次の問いに答えよ．

(1)$(ⅰ)$ \ $a>0$，$a \neq 1$，$M>0$である実数$a,\ M$に対し，$a$を底とする$M$の対数$\log_a M$の定義を述べよ．
$(ⅱ)$ $a>0$，$b>0$，$c>0$，$a \neq 1$，$c \neq 1$である実数$a,\ b,\ c$に対し，底の変換公式
\[ \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \]
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数$x$の自然対数$\log x$は
\[ \log x=\int_1^x \frac{1}{t} \, dt \]
と表される．これを用いて，正の実数$x,\ y$に対し
\[ \log (xy)=\log x+\log y \]
が成り立つことを示せ．