$n$を自然数とし，$\displaystyle \mathrm{P}_k \left( \frac{k}{n},\ \log \left( 1+\frac{k}{n} \right) \right) (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$を平面上の$n+1$個の点とする．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

(1)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のとき，点$\mathrm{P}_{k-1}$と点$\mathrm{P}_k$との距離$\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$に対して
\[ \frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k}{n} \right)^2}}<\mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k<\frac{1}{n} \sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{\left( 1+\displaystyle\frac{k-1}{n} \right)^2}} \]
を示せ．
(2)$\displaystyle L_n=\sum_{k=1}^n \mathrm{P}_{k-1} \mathrm{P}_k$としたとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}L_n$を求めよ．

各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は

$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．

$n$を正の整数とする．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく．以下の問に答えよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．

(1)$\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ．ただし，$x \neq 1$とする．

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(3)$\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ．

(4)$\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ．

(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ．

$a$を$0<a<1$を満たす定数とし，$x,\ y$が$xy^2=a^3$を満たすとする．$x>0$，$y>0$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$X=\log_a x$，$Y=\log_a y$とおくとき，$X$と$Y$の関係式を求めよ．
(2)$x,\ y$が$\log_a x \cdot \log_a y \geqq 1$を満たすとき，$y$のとり得る値の範囲を求めよ．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，$\log$は自然対数を表す．また，等式$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．

(2)$a$を正の実数とする．このとき，$a^x=x^a$を満たす正の実数$x$の個数を調べよ．

(3)定積分$\displaystyle \int_1^{\sqrt{e}} \frac{\log x}{x} \, dx$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3)$(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5)次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]

次の各問に答えよ．

(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ．
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ．