$n$を自然数とし，$p_n,\ q_n$を実数とする．ただし，$p_1,\ q_1$は$p_1^2-4q_1=4$を満たすとする．$2$次方程式$x^2-p_nx+q_n=0$は異なる実数解$\alpha_n,\ \beta_n$をもつとする．ただし，$\alpha_n<\beta_n$とする．$c_n=\beta_n-\alpha_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$は
\[ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$r_n=\log_2 (n \sqrt{n}+\sqrt{n})$とするとき，$\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}$を$r_n,\ r_{n+1}$を用いて表せ．
(2)$c_n$を$n$の式で表せ．
(3)$p_n=n \sqrt{n}$であるとき，$q_n$を$n$の式で表せ．

関数$y=\log_3 x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,\ \log_3 t)$，$\mathrm{Q}(u,\ 3^u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1$のとき，不等式$2 \sqrt{x}>1+\log x$が成り立つことを証明せよ．
(2)関数$y=x \log x (x>0)$のグラフを曲線$C$とする．定数$a$に対し，曲線$C$の接線で点$(a,\ 0)$を通るものは何本あるか．
(3)$(2)$で定められた曲線$C$とその傾き$2$の接線および直線$x=e^{-2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)定積分
\[ \int_0^{\log 3} \frac{dx}{e^x+5e^{-x}-2} \]
を求めよ．
(2)$x>0$のとき，不等式
\[ \log x \geqq \frac{5x^2-4x-1}{2x(x+2)} \]
が成り立つことを示せ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$a$と$b$を正の実数とする．$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=a$，$\mathrm{CX}_1=b$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$，$a$，$b$を用いて表せ．
(3)$b=8a$のとき，$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてよい．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい．