「対数」について
タグ「対数」の検索結果
（103ページ目：全1047問中1021問～1030問を表示）
私立 獨協医科大学 2010年 第2問連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
0 \leqq y \leqq 1 & & \cdots\cdots① \\
\log_{\frac{1}{2}}(2x^2+3x-2) \geqq \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x) & & \cdots\cdots② \\
y^2 \leqq 2x-1 & & \cdots\cdots③ \\
4x+y-3 \geqq 0 & & \cdots\cdots④
\end{array} \right. \]
が表す領域$D$を考える．
(1)$②$の解は，$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}<x \leqq [ ]$である．
(2)放物線$y^2=2x-1$と直線$4x+y-3=0$の$2$交点のうち，$y$座標が正となる交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$である．
(3)領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
0 \leqq y \leqq 1 & & \cdots\cdots① \\
\log_{\frac{1}{2}}(2x^2+3x-2) \geqq \log_{\frac{1}{2}}(x^2+2x) & & \cdots\cdots② \\
y^2 \leqq 2x-1 & & \cdots\cdots③ \\
4x+y-3 \geqq 0 & & \cdots\cdots④
\end{array} \right. \]
が表す領域$D$を考える．
(1)$②$の解は，$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}<x \leqq [ ]$である．
(2)放物線$y^2=2x-1$と直線$4x+y-3=0$の$2$交点のうち，$y$座標が正となる交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ ]}{[ ]},\ \frac{[ ]}{[ ]} \right)$である．
(3)領域$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
私立 星薬科大学 2010年 第4問次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}$が$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2},\ f(b)=\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ a=\frac{1}{2} \log_{10} [ ],\quad b=\frac{1}{2}(\log_{10} [ ]-\log_{10} [ ]) \]
であり，$f(a+b)$の値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)関数$f(x)=2^{-3x}-9 \cdot 2^{-2x}+24 \cdot 2^{-x}-20$は$\displaystyle -2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$において最小値$-[ ]$，最大値$[ ]$をとる．
(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}$が$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2},\ f(b)=\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ a=\frac{1}{2} \log_{10} [ ],\quad b=\frac{1}{2}(\log_{10} [ ]-\log_{10} [ ]) \]
であり，$f(a+b)$の値は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(2)関数$f(x)=2^{-3x}-9 \cdot 2^{-2x}+24 \cdot 2^{-x}-20$は$\displaystyle -2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$において最小値$-[ ]$，最大値$[ ]$をとる．
私立 津田塾大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．
(1)$n$を自然数とする．全ての$x>0$に対して$x>n \log x$となるための$n$の条件を求めよ．ただし，$e=2.71 \cdots$である．
(2)座標平面上で点$(0,\ 2)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$に外接し$x$軸に接する円の中心$\mathrm{P}(a,\ b)$が描く図形の方程式を求めよ．
私立 北海道医療大学 2010年 第2問累乗根，対数，三角関数について以下の問に答えよ．
(1)次の式を簡単にせよ．
\[ \begin{array}{lll}
① \sqrt[8]{16^2} & & ② \sqrt[3]{4} \div \sqrt{8} \times \sqrt[4]{32} \\
③ \log_3 81 & & ④ (\log_23+\log_49)(\log_34+\log_92)
\end{array} \]
(2)$0^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}-\frac{1}{\sin \theta}=\sqrt{3}$であるとする．
\mon[$(2$-$1)$] $x=\sin \theta \cos \theta$とするとき，$x$に関する$2$次方程式を求めよ．
\mon[$(2$-$2)$] $\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．
\mon[$(2$-$3)$] 次の値を求めよ．
\[ ① \sin \theta \qquad ② \tan \theta \]
\mon[$(2$-$4)$] 次の式の値を求めよ．
\[ ① \frac{1}{\cos {60}^\circ}-\frac{1}{\sin {60}^\circ} \qquad ② \frac{1}{\cos {75}^\circ}-\frac{1}{\sin {75}^\circ} \]
(1)次の式を簡単にせよ．
\[ \begin{array}{lll}
① \sqrt[8]{16^2} & & ② \sqrt[3]{4} \div \sqrt{8} \times \sqrt[4]{32} \\
③ \log_3 81 & & ④ (\log_23+\log_49)(\log_34+\log_92)
\end{array} \]
(2)$0^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \frac{1}{\cos \theta}-\frac{1}{\sin \theta}=\sqrt{3}$であるとする．
\mon[$(2$-$1)$] $x=\sin \theta \cos \theta$とするとき，$x$に関する$2$次方程式を求めよ．
\mon[$(2$-$2)$] $\sin \theta \cos \theta$の値を求めよ．
\mon[$(2$-$3)$] 次の値を求めよ．
\[ ① \sin \theta \qquad ② \tan \theta \]
\mon[$(2$-$4)$] 次の式の値を求めよ．
\[ ① \frac{1}{\cos {60}^\circ}-\frac{1}{\sin {60}^\circ} \qquad ② \frac{1}{\cos {75}^\circ}-\frac{1}{\sin {75}^\circ} \]
私立 関西大学 2010年 第1問関数$f(x)=\log (\sin x+2) (0<x<2\pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の第$1$次導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．
(1)$f(x)$の第$1$次導関数$f^\prime(x)$と第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極値を求めよ．
(3)$f(x)$の変曲点を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(4)$k$を実数の定数とするとき，$0<x<2\pi$における$\log (\sin x+2)-k=0$の解の個数を調べよ．
私立 中央大学 2010年 第2問不等式
\[ 19200<19683=3^9<20000<20480=2^{11} \cdot 10 \]
を利用して，以下の設問に答えよ．ただし，$x=\log_{10}2$，$y=\log_{10}3$とする．
(1)$\log_{10}19200$の値を$x$と$y$で表せ．
(2)$x$と$\displaystyle \frac{3}{10}$の大小を比較せよ．
(3)$y$と$\displaystyle \frac{11}{23}$の大小を比較せよ．
\[ 19200<19683=3^9<20000<20480=2^{11} \cdot 10 \]
を利用して，以下の設問に答えよ．ただし，$x=\log_{10}2$，$y=\log_{10}3$とする．
(1)$\log_{10}19200$の値を$x$と$y$で表せ．
(2)$x$と$\displaystyle \frac{3}{10}$の大小を比較せよ．
(3)$y$と$\displaystyle \frac{11}{23}$の大小を比較せよ．
私立 早稲田大学 2010年 第2問方程式$3^{2-\log_2 x}+26\cdot 3^{-\log_4 x}-3 = 0$を解くと，$x=$[カ]となる．
私立 神戸薬科大学 2010年 第2問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めよ．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．
(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[ ] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[ ]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)四角形$\mathrm{ABCD}$の$2$つの対角線$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{PD}}$をみたすとき，
(i) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=[ ] \overrightarrow{\mathrm{AD}}+[ ] \overrightarrow{\mathrm{BC}}$
である．
(2)$1$回のろ過で溶液の不純物を$20 \, \%$除去できるろ過装置で，不純物を含む溶液をろ過したい．
(i) $n$回ろ過したときの不純物は元の不純物の$[ ] \, \%$である．
(ii) この装置を使って不純物の$95 \, \%$以上を除去するには最低限$[ ]$回のろ過操作が必要である．$\log_{10}2=0.3010$とする．
公立 大阪市立大学 2010年 第1問正の実数からなる2つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は，$n \geqq 3$について
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +a_{n-2}}{2},\ b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n-2}} \]
をみたすものとする．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とすると，$\{c_n\}$は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．
(2)$n \geqq 3$について$a_n$を$a_1,\ a_2,\ n$を用いて表せ．
(3)$b_1 = 1,\ b_2 = 2$のとき，$n \geqq 3$について$\log_2 b_n$を$n$を用いて表せ．
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +a_{n-2}}{2},\ b_n = \sqrt{b_{n-1}b_{n-2}} \]
をみたすものとする．次の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の階差数列を$\{c_n\}$とすると，$\{c_n\}$は等比数列になることを示し，その公比を求めよ．
(2)$n \geqq 3$について$a_n$を$a_1,\ a_2,\ n$を用いて表せ．
(3)$b_1 = 1,\ b_2 = 2$のとき，$n \geqq 3$について$\log_2 b_n$を$n$を用いて表せ．
公立 大阪市立大学 2010年 第2問実数$r$に対し，$n \leqq r < n+1$となる整数$n$を$[ \; r \; ]$と表すことにする．正の整数$m$について，$f(m) = [ \; m - \log_2 (m+1) \; ]$とおく．次の問いに答えよ．
(1)$m+1 = 2^s$となる整数$s$があれば，$f(m+1) = f(m)$となることを示せ．
(2)$m+1 = 2^s$となる整数$s$がなければ，$f(m+1) = f(m) +1$となることを示せ．
(1)$m+1 = 2^s$となる整数$s$があれば，$f(m+1) = f(m)$となることを示せ．
(2)$m+1 = 2^s$となる整数$s$がなければ，$f(m+1) = f(m) +1$となることを示せ．