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東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(3)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第2問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する.以下の方式で試合を行い,$2$連勝したチームが出た時点で,そのチームを優勝チームとして大会は終了する.

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.
(ii) $2$試合目で,$1$試合目の勝者と,$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する.
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は,$k$試合目の勝者と,$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する.ここで$k$は$2$以上の整数とする.

なお,すべての対戦において,それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で,引き分けはないものとする.

(1)$n$を$2$以上の整数とする.ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ.
(2)$m$を正の整数とする.総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき,$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2016年 第4問
$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う.第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する.第$2$試合以降は,直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す.最初に$2$連勝したチームを優勝とする.いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり,各試合に引き分けはないものとする.このとき,

(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり,第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である.
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が優勝する確率は,それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$,$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である.

(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち,かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと,$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である.ただし,$n$は自然数とする.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第2問
次の$[ ]$に適する数を入れよ.

(1)${48}^{30}$は$[ア][イ]$桁の数である.ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
(2)放物線$y=x^2-7x+6$と直線$y=x-1$は$2$点$([ウ],\ [エ])$,$([オ],\ [カ])$(ただし,$[ウ]<[オ]$)で交わり,両者によって囲まれる部分の面積は$[キ][ク]$である.
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が,あるゲームで対戦している.$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の強さは互角で,$1$回の対戦で勝つ確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である.引き分けは,ないものとする.

(i) $5$回目の対戦が終わったところで,$\mathrm{A}$が$3$勝,$\mathrm{B}$が$2$勝している確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である.
(ii) $\mathrm{B}$が先に$3$勝する前に$\mathrm{A}$が先に$2$勝する確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である.
明治大学 私立 明治大学 2016年 第3問
$n$と$k$を$n>k$を満たす自然数とする.$n$チームが参加するサッカーの大会がある.この大会では,全てのチームが$k$回の試合を行う.但し,その$k$試合の対戦相手は,全て異なるとする.このとき,次の問に答えよ.

(1)$n=4,\ k=2$の場合の大会が,何通りあるかもとめよ.
(2)$n=6,\ k=3$のとき,$1$つの大会の試合の総数をもとめよ.
(3)一般に,この大会が成立するためには,$n$か$k$のどちらかが,偶数でなければならないことを示せ.
(4)各試合の両チームの得点を全て合計し,試合数で割った値を,その大会における$1$試合の平均得点と呼ぶことにする.
$n=9$のとき,各チームが$k$試合行う大会における,$1$試合の平均得点が,$\displaystyle \left( \frac{1}{27}k^2-\frac{7}{9}k+5 \right)$点であったとする.$1$つの大会における総得点が,もっとも多くなる$k$をもとめよ.
近畿大学 私立 近畿大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする.

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$,$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である.
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$,$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である.

(2)$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$の$5$チームがあり,それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする.$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし,引き分けはないものとする.

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる.
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である.
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする.ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする.

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$,$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である.
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$,$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である.

(2)$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$の$5$チームがあり,それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする.$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし,引き分けはないものとする.

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる.
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である.
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である.
熊本大学 国立 熊本大学 2013年 第1問
$X,\ Y$は$\{ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6 \}$の空でない部分集合で,$X \cap Y$は空集合とする.また,$n$を自然数とする.$\mathrm{A}$君,$\mathrm{B}$君が以下のルールで対戦する.

(i) $1$回目の対戦では,まず$\mathrm{A}$君がさいころを投げて,出た目が$X$に属するならば$\mathrm{A}$君の勝ちとする.出た目が$X$に属さなければ$\mathrm{B}$君がさいころを投げて,出た目が$Y$に属するならば$\mathrm{B}$君の勝ちとする.
(ii) $1$回目の対戦で勝負がつかなかった場合は,$1$回目と同じ方法で$2$回目以降の対戦を行い,どちらかが勝つまで続ける.ただし,$n$回対戦して勝負がつかなかった場合は引き分けにする.

以下の問いに答えよ.

(1)さいころを投げたとき,$X,\ Y$に属する目が出る確率をそれぞれ$p,\ q$とする.$\mathrm{A}$君が勝つ確率を求めよ.
(2)$\mathrm{A}$君が勝つ確率が,$\mathrm{B}$君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組$(X,\ Y)$は何通りあるか.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2013年 第2問
あるスポーツの試合において,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$チームが対戦し,先に$3$回勝った方が優勝とする.$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$,$\mathrm{B}$が勝つ確率を$1-p$とする.

(1)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときに,ちょうど$4$試合目で優勝チームが決まる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である.

(2)ちょうど$N$試合目で優勝チームが決まるとする.このとき,$0 \leqq p \leqq 1$の範囲で$N$の期待値の最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である.
同志社大学 私立 同志社大学 2013年 第1問
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.

サッカーの国際大会に日本,$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し,優勝国は次のように決定される.
(i) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする.勝った国が残りの$1$つの国と試合をし, $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す.この連勝国を優勝国とし,大会を終了する.
(ii) 各試合において,引き分けは無く,必ず勝敗が決まる.
日本が$\mathrm{A}$国,$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし,$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする.第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する.
第$2$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり,第$3$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり,第$4$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$であり,第$5$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$である.ゆえに第$3n+2$戦($n$は$0$以上の整数)で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=[ ]$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=[ ]$となる.一方,第$7$戦で日本が優勝する確率は$[ ]$となる.第$3n+1$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=[ ]$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=[ ]$となる.また第$3n$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=[ ]$となる.
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