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沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2016年 第2問
以下の各問いに答えなさい.

(1)「実数」は,「実数」と「実数」に$3$つの演算(加法・減法・乗法)を行った場合,再び「実数」になる.同じように,同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が,再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい.

有理数,自然数,整数

(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい.

(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$

(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい.

(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$

(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい.

「$n+1$が偶数ならば,$n$は奇数」
センター試験 問題集 センター試験 2015年 第2問
$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く.

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを,下の$\nagamarurei$~$\nagamarusan$のうちから一つ選べ.

命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($q_1$かつ$q_2$)」の対偶は$[ア]$である.

$\nagamarurei$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$)
$\nagamaruichi$ ($\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$)
$\nagamaruni$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$)
$\nagamarusan$ ($\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$)
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める.
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「($p_1$かつ$p_2$) $\Longrightarrow$ ($\overline{q_1}$かつ$q_2$)」
の反例となる.
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=5$,$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする.

このとき,$\mathrm{AC}=[オ]$,$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり,
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である.

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を,$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角,となるようにとる.点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし,$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると,$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である.
広島女学院大学 私立 広島女学院大学 2015年 第4問
命題「$x+y \geqq 3 \Longrightarrow x \geqq 1 \text{または} y \geqq 2$」について,次の問いに答えよ.ただし,$x,\ y$は実数とする.

(1)命題の真偽を例にならい述べよ.偽の場合には反例をあげよ.
(2)命題の逆,裏,対偶を述べ,それらの真偽も述べよ.$(1)$と同様に,偽の場合には反例をあげよ.
\mon[(例)] 命題:「$-1<x<2 \Longrightarrow x<1$」,真偽:真
命題:「$x<1 \Longrightarrow -1<x<2$」,真偽:偽(反例:$x=-1$)
広島女学院大学 私立 広島女学院大学 2015年 第5問
命題「$\displaystyle 2 |x-\displaystyle\frac{1|{2}}-x>0$ならば$x>1$」について,次の問いに答えよ.

(1)逆を述べよ.
(2)逆の真偽を真か偽で答えよ.
(3)裏を述べよ.
(4)裏の真偽を真か偽で答えよ.
(5)対偶を述べよ.
(6)対偶の真偽を真か偽で答えよ.
京都教育大学 国立 京都教育大学 2014年 第1問
自然数$n$に関する次の条件$p,\ q$を考える.

$p:n^2+3$は偶数である.
$q:n$は奇数である.


(1)命題「$p \Longrightarrow q$」の逆,対偶および裏を述べよ.
(2)命題「$p \Longrightarrow q$」を証明せよ.
倉敷芸術科学大学 私立 倉敷芸術科学大学 2014年 第4問
$m,\ n$を自然数とする.命題「$m^2+n^2$が奇数$\Longrightarrow$積$mn$は偶数」について,次の問いに答えよ.

(1)この命題の対偶を書け.
(2)$(1)$の対偶を証明することにより,上の命題を証明せよ.
奈良県立医科大学 公立 奈良県立医科大学 2014年 第13問
命題「実数$a,\ b$がともに正ならば,$ab>0$である.」の対偶を述べよ.
広島市立大学 公立 広島市立大学 2014年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}-a_n=(n+1)(n+2) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{array} \right)$とし,$pA+qE$($p,\ q$は実数)の形の$2$次正方行列全体の集合を$M$とする.ただし,$E$は$2$次の単位行列とする.

(i) $A$の逆行列$A^{-1}$を求めよ.
(ii) $A^{-1}$は集合$M$に属することを示せ.

(3)$m,\ n$を正の整数として次の命題を考える.

「$m^2+2n^2$が$3$の倍数でない \quad $\Longrightarrow$
($m$は$3$の倍数でない$\ $または$\ n$は$3$の倍数である)」

(i) この命題の対偶を述べよ.
(ii) この命題が偽であることを示せ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2013年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において,線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし,$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$,$\mathrm{AC}=8$,$\mathrm{AP}=2$,$\mathrm{PD}=4$とする.このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(2)平面上で$2$つの円を考える.共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ.また,$3$本の共通接線も描け.
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき,$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ.
(4)$a,\ b$を実数とする.命題「$ab=0$ならば,$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き,それぞれの真偽を答えよ.
鹿児島大学 国立 鹿児島大学 2013年 第1問
次の各問いに答えよ.

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において,線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし,$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$,$\mathrm{AC}=8$,$\mathrm{AP}=2$,$\mathrm{PD}=4$とする.このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ.
(2)平面上で$2$つの円を考える.共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ.また,$3$本の共通接線も描け.
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき,$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ.
(4)$a,\ b$を実数とする.命題「$ab=0$ならば,$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き,それぞれの真偽を答えよ.
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「対偶」とは・・・

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