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浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2012年 第3問
$n$は自然数を表すとして,以下の問いに答えよ.

(1)平面を次の条件を満たす$n$個の直線によって分割する.
【どの直線も他のすべての直線と交わり,どの$3$つの直線も$1$点で交わらない.】
このような$n$個の直線によって作られる領域の個数を$L(n)$とすると,$L(1)=2,\ L(2)=4$は容易にわかる.次の問いに答えよ.

(i) $L(3),\ L(4),\ L(5)$をそれぞれ求めよ.
(ii) $L(n)$の漸化式を求めよ.
(iii) $L(n)$を求めよ.

(2)平面を次の条件を満たす$n$個の円によって分割する.
【どの円も他のすべての円と$2$点で交わり,どの$3$つの円も$1$点で交わらない.】
このような$n$個の円によって作られる領域の個数を$D(n)$とすると,$D(1)=2$は容易にわかる.次の問いに答えよ.

(i) $D(2),\ D(3),\ D(4)$をそれぞれ求めよ.
(ii) $D(n)$の漸化式を求めよ.
(iii) $D(n)$を求めよ.
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