ともに目盛りのない$3 \, \ell$の容器$\mathrm{A}$と$5 \, \ell$の容器$\mathrm{B}$を一つずつ用いるとき，次の問いに答えなさい．

(1)$4 \, \ell$の水を量る手順を，次の例にならって説明しなさい．
（例）$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$，$\mathrm{B}$に$0 \, \ell$の水が入っている状態を$\mathrm{AB}(3,\ 0)$で表す．また，はじめに$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$の水を入れ，次に，$\mathrm{B}$に$5 \, \ell$の水を入れていくとき，
\[ \mathrm{AB}(0,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 5) \]
のように表すものとする．
(2)$n \, \ell$以上の水が量れることを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．ただし，$n$は$9$以上の自然数とする．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の容器には$3 \, \%$の食塩水が$1000 \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$5 \, \%$の食塩水が$400 \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$4 \, \%$の食塩水にするには何$\mathrm{g}$入れればよいか．
(2)$\mathrm{A}$の容器には$a \, \%$の食塩水が$x \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$b \, \%$の食塩水が$y \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$c \, \%$の食塩水を作った．$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に何$\mathrm{g}$加えたか．ただし，$a<c<b$，または，$b<c<a$とする．

次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の容器には$3 \, \%$の食塩水が$1000 \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$5 \, \%$の食塩水が$400 \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$4 \, \%$の食塩水にするには何$\mathrm{g}$入れればよいか．
(2)$\mathrm{A}$の容器には$a \, \%$の食塩水が$x \, \mathrm{g}$，$\mathrm{B}$の容器には$b \, \%$の食塩水が$y \, \mathrm{g}$入っている．$\mathrm{B}$に$\mathrm{A}$の食塩水を加え，$c \, \%$の食塩水を作った．$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に何$\mathrm{g}$加えたか．ただし，$a<c<b$，または，$b<c<a$とする．

以下の問いに答えなさい．

(1)下図のような口の半径が$10 \, \mathrm{cm}$，高さが$30 \, \mathrm{cm}$の口の開いた逆円すい形の容器を，口が水平になるように置き，水を入れた．水面の面積が$36 \pi \, \mathrm{cm}^2$であるとき，水の体積は$[$1$][$2$][$3$] \pi \, \mathrm{cm}^3$であり，容器の内面で水に接していない部分の面積は，水に接している部分の面積の$\displaystyle \frac{[$4$][$5$]}{[$6$]}$倍である．
（図は省略）
(2)次の数列を考える．
\[ 1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{9},\ \frac{1}{27},\ \cdots \]
この数列の第$670$項は$\displaystyle \frac{1}{[$7$][$8$][$9$]}$，初項から第$2182$項までの和は
\[ \frac{\kakkofour{$10$}{$11$}{$12$}{$13$}}{[$14$][$15$][$16$]} \]
である．
(3)次の連立方程式を満たす実数の組$(x,\ y)$をすべて求めなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
-9x^2+4x+3y^2=0 \\
3xy-5y=0
\end{array} \right. \]

濃度$a \, \%$の食塩水$300 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{A}$と，濃度$b \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$より$100 \, \mathrm{g}$の食塩水をとってそれを$\mathrm{B}$に移し，よくかき混ぜた後に同量を$\mathrm{A}$に戻すとする．この操作を$n$回繰り返したときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の食塩水の濃度を求めたい．次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に，最初にあった食塩の量の和は$[$*$] \mathrm{g}$である．
(2)$n (\geqq 1)$回の操作の後，容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$，容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする．$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ y_n=[　] x_{n-1}+[　] y_{n-1} \]
となる．また，$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ x_n=[　] x_{n-1}+[　] y_{n-1} \]
となる．
(3)食塩の量の和は一定であることに注意すると，
\[ [$* *$] x_n+[$***$] y_n=[$**$] x_{n-1}+[$***$] y_{n-1}=\cdots =[$*$] \]
(4)$(3)$で与えられた関係式を使って，数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると，
\[ x_n=[　] x_{n-1}+[　] \]
となる．この漸化式を解くことによって，$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ x_n=[　] \]
また，$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ y_n=[　] \]
となる．

次の各設問の$[1]$から$[9]$までの空欄にあてはまる数値を入れよ．

(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．

半径$a\;$cmの球$B$を，球の中心を通る鉛直軸に沿って毎秒$v\;$cmの速さで下の方向に動かし，水で一杯に満たされた容器Qに沈めていく．球$B$を沈め始めてから$t$秒後までにあふれ出る水の体積を$V\;$cm$^3$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a,\ v$は正の定数で，容器$Q$に球$B$を完全に水没させることができるとする．

(1)$V$を$a,\ v,\ t$の式で表せ．また変化率$\displaystyle \frac{dV}{dt}$が最大になるのは，沈め始めてから何秒後か．
(2)容器$Q$は一辺の長さが$b$の正四面体から一面を取り除いた形をしており，開口した面は水平に保たれている．球$B$は完全に水面下に入った瞬間，水面と容器$Q$の3つの面に接するという．$b$を$a$で表せ．

正の実数$a$と関数$f(x)=|x^2-a^2| \ (-2a \leqq x \leqq 2a)$がある．$y=f(x)$のグラフを$y$軸のまわりに回転させてできる形の容器に$\pi a^2 (\text{cm}^3 / \text{秒})$の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間を$T$(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さが$a^2$(cm)になったとき，容器中の水の体積を$V$(cm$^3$)とする．$V$を$a$を用いて表せ．
(3)$T$を$a$を用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h\;$(cm)とする．$h$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．
(5)水を注ぎ始めてから$t$秒後の水面の上昇速度を$v\;$(cm/秒)とする．$v$を$a$と$t$を用いて表せ．ただし，$0<t<T$とする．

以下の問いに答えなさい．

(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．

曲線$y=-\cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる形をした容器がある．ただし，単位は$\mathrm{cm}$とする．この容器に毎秒$1 \, \mathrm{cm}^3$ずつ水を入れたとき，$t$秒後の水面の半径を$r \, \mathrm{cm}$とし，水の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$とする．水を入れ始めてからあふれるまでの時間内で考えるとき，次の問いに答えよ．

(1)水の体積$V$を$r$の式で表せ．
(2)水を入れ始めて$t$秒後の$r$の増加する速度$\displaystyle \frac{dr}{dt}$を$r$の式で表せ．