「容器」について
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私立 津田塾大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$L \, \mathrm{cm}$の正六角形から図のように斜線部を取り除き，点線にそって${90}^\circ$折り曲げて，底面と側面だけからなる正六角柱の容器を作る．この容器の容積の最大値を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
私立 立教大学 2016年 第2問図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり，$ab=1$とする．この長方形の四隅から，一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り，残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．
私立 東京薬科大学 2016年 第1問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
私立 東洋大学 2016年 第2問厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のアクリル板で半球形の容器を作るとき，アクリル板の強度を考慮すると，最大で$50 \, l$の容積をもつ容器を作ることができるものとする．このアクリル板の厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに，作れる容器の最大の容積は$1.3$倍になる．一方，このアクリル板は，厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のときに光の透過率が$90 \, \%$で，厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに透過率は$0.9$倍になる．次の各問に答えよ．ただし，アクリル板は$1 \, \mathrm{cm}$単位の加工しかできないこととし，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてもよい．
(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，その透過率は$[アイ] \, \%$になる．
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる．
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら，容積の最も大きな容器を作りたい．このとき，アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく，その容器の容積は，小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である．
(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，その透過率は$[アイ] \, \%$になる．
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる．
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら，容積の最も大きな容器を作りたい．このとき，アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく，その容器の容積は，小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である．
公立 岐阜薬科大学 2016年 第5問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$xy$平面上の曲線$y=x^2 (-3 \leqq x \leqq 3)$を$y$軸のまわりに回転させて容器をつくり，この容器を水でいっぱいに満たした．$xy$平面に垂直に図のように$z$軸をとった後，高さ$y=1$にある容器上の$1$点が$xz$平面に接するまで容器を静かに傾けた．ただし，傾ける際に容器は常に$xz$平面に接するものとする．表面張力および容器の厚みを考えないとして，以下の問いに答えよ．
(1)容器を傾ける前の容器内の水の量を求めよ．
(2)容器を傾けた後の容器に残っている水の量を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
$xy$平面上の曲線$y=x^2 (-3 \leqq x \leqq 3)$を$y$軸のまわりに回転させて容器をつくり，この容器を水でいっぱいに満たした．$xy$平面に垂直に図のように$z$軸をとった後，高さ$y=1$にある容器上の$1$点が$xz$平面に接するまで容器を静かに傾けた．ただし，傾ける際に容器は常に$xz$平面に接するものとする．表面張力および容器の厚みを考えないとして，以下の問いに答えよ．
(1)容器を傾ける前の容器内の水の量を求めよ．
(2)容器を傾けた後の容器に残っている水の量を求めよ．
\end{mawarikomi}
国立 香川大学 2015年 第3問放物線$y=ax^2 (a>0)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と，容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．
(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．
国立 香川大学 2015年 第5問放物線$y=ax^2 (a>0)$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる容器$\mathrm{A}$と，容積$V$のコップ$\mathrm{B}$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．
(1)空の容器$\mathrm{A}$にコップ$\mathrm{B}$ \ $1$杯分の水を注いだら，水深が$1$となった．このとき，$a$を$V$を用いて表せ．ただし，回転軸は水面と垂直であるとする．
(2)あとコップ$\mathrm{B}$何杯分の水を容器$\mathrm{A}$に注いだら，水深が$2$となるか．
国立 山口大学 2015年 第4問半径$3 \, \mathrm{cm}$の半球形の容器の中に$8 \pi \, \mathrm{cm}^3$の水が入っている．この容器の水の中に半径$r \, \mathrm{cm}$の鉄の球を静かに入れた．このとき下の断面図のように，鉄の球は水面と上端で接した．$r$の値を求めなさい．ただし，容器から水がこぼれることはないものとする．
（図は省略）
（図は省略）
国立 山口大学 2015年 第3問半径$3 \, \mathrm{cm}$の半球形の容器の中に$8 \pi \, \mathrm{cm}^3$の水が入っている．この容器の水の中に半径$r \, \mathrm{cm}$の鉄の球を静かに入れた．このとき下の断面図のように，鉄の球は水面と上端で接した．$r$の値を求めなさい．ただし，容器から水がこぼれることはないものとする．
（図は省略）
（図は省略）
私立 中京大学 2015年 第7問底面が直径$D \, \mathrm{mm}$の円であり，高さが$22 \, \mathrm{mm}$の直円柱の容器がある．ただし，底面および側面の厚さは$0 \, \mathrm{mm}$としてよい．この容器に水を満杯に入れ，その上に半径$R=18 \, \mathrm{mm} (2R>D)$の球体を載せたところ，容器の水が溢れだした．その後，球体を取り除くと容器の水位が$5 \, \mathrm{mm}$低くなった．このとき，溢れだした水の体積は$D$を用いて$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}D^2 \pi \, \mathrm{mm}^3$と表すことができ，容器の底面の直径は$D=[ウエ] \sqrt{[オ]} \, \mathrm{mm}$である．