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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
ある村では公共サービス$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$を提供している.提供された$\mathrm{X}$の量を$x$,$\mathrm{Y}$の量を$y$で表わす.技術的条件や予算の制約によって$(x,\ y)$が実現するのは$x,\ y$がつぎの不等式をみたすときである.
\[ \begin{array}{l}
x+y \leqq 200 \\
x+5y \leqq 790 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
3x+4y \leqq 720 \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
x,\ y \geqq 0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \]
$(x,\ y)$が実現する領域は$5$角形であり,その$5$頂点は$(0,\ 0)$,$(200,\ 0)$,$(0,\ 158)$および$\mathrm{A}([$53$][$54$][$55$],\ [$56$][$57$][$58$])$,$\mathrm{B}(80,\ [$59$][$60$][$61$])$である.

現在,一般の村民は$xy$が最大になることを望んでおり,一方,村の有力者一族は$x+10y$が最大になることを望んでいる.村長は$x$と$y$を自由に選ぶことができるが,両方の意向を尊重して
\[ \alpha xy+(1-\alpha)(x+10y) \quad (0<\alpha<1) \]
を最大化する方針をとった.
仮に,$\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}$ならば村長の選択は$(x,\ y)=([$62$][$63$],\ [$64$][$65$][$66$])$となる.
村長は最大化のために選択すべき点を線分$\mathrm{AB}$上にとることにした.しかし,予算上端点$\mathrm{A}$も$\mathrm{B}$も選択することが認められないことがわかった.すると,$\alpha$は
\[ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$][$70$][$71$]}<\alpha<\frac{[$72$][$73$]}{133} \]
の範囲に限定される.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2014年 第1問
$p$を正の実数として,放物線$C:y^2=4px$を定める.$C$の頂点を$\mathrm{O}$,焦点を$\mathrm{F}$,準線を$\ell:x=-p$とする.$C$上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 2 \sqrt{pa}) (a>0)$と$\mathrm{B}(b,\ -2 \sqrt{pb}) (b>0)$を考えるとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{A}$における$C$の接線を$\ell (\mathrm{A})$とし,$\ell(\mathrm{A})$と準線$\ell$との交点を$\mathrm{P}$とする.$\ell(\mathrm{A})$の方程式をかいて,$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,線分$\mathrm{AP}$の長さは線分$\mathrm{AF}$の長さより大きいことを示せ.
(2)接線$\ell(\mathrm{A})$が直線$\mathrm{AB}$と$\mathrm{A}$において直交するとき,$b$を$a,\ p$を用いて表せ.また$a$が$0<a<\infty$の範囲内を動くとき,$b$の最小値を求めよ.

以下$(2)$の最小値を実現する$C$上の$2$点を$\mathrm{A}_0$,$\mathrm{B}_0$とし,接線$\ell(\mathrm{A}_0)$と準線$\ell$の交点を$\mathrm{P}_0$とする.

(3)直線$\mathrm{OA}_0$と直線$\mathrm{P}_0 \mathrm{B}_0$は$\mathrm{O}$において直交することを示せ.
(4)$\triangle \mathrm{A}_0 \mathrm{OB}_0$の面積を$S$,線分$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$と$C$で囲まれた図形の面積を$T$とするとき,比$S:T$を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2011年 第4問
$n$を$2$以上の自然数,$q$と$r$を自然数とする.$1$から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉,$1$から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する.これら白玉と赤玉を,$1$番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに,小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ,赤玉は$r$個ずつ配分しておく.たとえば,$1$番目の箱には番号$1$から$q$の白玉と番号$1$から$r$までの赤玉が入っている.これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する.$1$番の箱から$1$個の玉を取り出して$2$番の箱に移し,次に$2$番の箱から$1$個の玉を取り出して$3$番の箱に移す.同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に$1$個の玉を移して終了する.このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし,$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする.

(1)$s_2$を求めよ.
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ.
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2011年 第4問
$n$を2以上の自然数,$q$と$r$を自然数とする.1から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉,1から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する.これら白玉と赤玉を,1番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに,小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ,赤玉は$r$個ずつ配分しておく.たとえば,1番目の箱には番号1から$q$の白玉と番号1から$r$までの赤玉が入っている.これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する.1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し,次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す.同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に1個の玉を移して終了する.このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし,$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする.

(1)$a_3$と$a_3$を求めよ.
(2)$s_n$を求めよ.
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ.
(4)$a_n$を求めよ.
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