タグ「実数」の検索結果

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福島大学 国立 福島大学 2016年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.

(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.

(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
福島大学 国立 福島大学 2016年 第1問
次の問いに答えなさい.

(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい.
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき,$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい.
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい.

(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい.
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい.

(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい.
福島大学 国立 福島大学 2016年 第4問
次の方程式で表される二つの直線$\ell_1,\ \ell_2$を考える.

$\ell_1:(a-1)(x+1)-(a+1)y=0$
$\ell_2:ax-y-1=0$


(1)$\ell_1$は$a$の値によらず定点を通る.この定点の座標を求めなさい.
(2)$a$が実数全体を動くときの,$\ell_1$と$\ell_2$の交点の軌跡を求めなさい.
東京農工大学 国立 東京農工大学 2016年 第3問
$a$を正の実数とし,$x$の関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-ax} \tan^2 x \quad \left( -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3} \right) \]
で定める.ただし,$e$は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.$\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{4} \right)=0$が成り立つとき,$a$の値を求めよ.
(2)$f^\prime(x)=0$かつ$\displaystyle -\frac{\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}$を満たす$x$がちょうど$3$個存在するように,定数$a$の値の範囲を定めよ.
(3)$a$の値が$(2)$で定めた範囲にあるとする.このとき,方程式$f^\prime(x)=0$の解を$\displaystyle x_1,\ x_2,\ x_3 \left( -\frac{\pi}{3}<x_1<x_2<x_3<\frac{\pi}{3} \right)$とし,
\[ y_1=f(x_1),\quad y_2=f(x_2),\quad y_3=f(x_3) \]
とおく.

(i) $y_1,\ y_2,\ y_3$を大きさの順に並べよ.
(ii) $\tan x_3$を$a$の式で表せ.
東京農工大学 国立 東京農工大学 2016年 第4問
$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=\log x+2 \quad (x>0)$
$C_2:y=-\log x \quad (x>0)$

を考える.正の実数$p,\ q$について,点$\mathrm{P}(p,\ \log p+2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とし,点$\mathrm{Q}(q,\ -\log q)$における$C_2$の接線を$\ell_2$とする.また,$\ell_1$と$\ell_2$は垂直であるとする.ただし,対数は自然対数とする.次の問いに答えよ.

(1)$q$を$p$を用いて表せ.
(2)$\ell_2$の方程式を$p$を用いて表せ.
(3)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする.$\displaystyle \angle \mathrm{RPQ}=\frac{\pi}{3}$であるとき,線分$\mathrm{PQ}$,曲線$C_1$および曲線$C_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
福島大学 国立 福島大学 2016年 第5問
二つの実数$\alpha,\ \beta$について,
\[ m(\alpha,\ \beta)=\left\{ \begin{array}{lcl}
\beta & & (\alpha \geqq \beta \text{のとき}) \\
\alpha & & (\alpha<\beta \text{のとき})
\end{array} \right. \]
と定め,また
\[ M(\alpha,\ \beta)=\alpha+\beta-m(\alpha,\ \beta) \]
とする.

$a,\ b$を実数として関数$f(x),\ g(x)$を次で定めるとき,以下の問いに答えなさい.
\[ f(x)=-(x-a)^2+b,\quad g(x)=M(0,\ x^2-1) \]


(1)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかきなさい.
(2)全ての実数$x$について
\[ m(f(x),\ g(x))=f(x) \]
が成り立つような$(a,\ b)$の範囲を図示しなさい.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2016年 第3問
実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする.$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき,次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して,$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき,$I(a)$を求めよ.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2016年 第4問
実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする.$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき,次の問いに答えよ.

(1)$f(x)$の増減を調べ,極値を求めよ.
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ.
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して,$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき,$I(a)$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2016年 第2問
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$,$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$,および直線$\ell:y=kx+2k$がある.ただし,$k$は実数とする.

(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ.
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように,$k$の値の範囲を求めよ.
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わるとする.線分$\mathrm{PQ}$について,$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき,$k$の値を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする.このとき,$\tan \theta$の値を求めよ.ただし,$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする.
鳥取大学 国立 鳥取大学 2016年 第2問
$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$,$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$,および直線$\ell:y=kx+2k$がある.ただし,$k$は実数とする.

(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ.
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように,$k$の値の範囲を求めよ.
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わるとする.線分$\mathrm{PQ}$について,$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき,$k$の値を求めよ.
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする.このとき,$\tan \theta$の値を求めよ.ただし,$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする.
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