「実数」について
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国立 金沢大学 2016年 第4問$a,\ b$を実数とする．$f(x)=2 \sqrt{1+x^2}-ax^2$とし，$x$についての方程式$f(x)=b$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
国立 新潟大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=5$，$\mathrm{OB}=6$，$\mathrm{AB}=7$とする．$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:t$に外分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{PQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{RS}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$t,\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)線分$\mathrm{OS}$の長さが$4$となる$t$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第4問$a$を$0<a<1$を満たす実数として$x$の関数$f(x)=ax-\log (1+e^x)$の最大値を$M(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし必要があれば
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．
\[ \lim_{x \to +0} x \log x=0 \]
が成り立つことを用いてよい．
(1)$M(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$の関数$y=M(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)$a$の関数$y=M(a)$のグラフをかけ．
国立 静岡大学 2016年 第2問$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第2問$0 \leqq x \leqq 2$とする．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$\sin \pi x+\cos 2 \pi x \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$x$の範囲に対し，
\[ \log_2 (3+x)+\log_2 (5-x)=\log_2 (16-k) \]
の解がひとつだけであるような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2016年 第1問$\overrightarrow{a}=(1,\ -2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{c}=(1,\ -1,\ 0)$とする．また，実数$s,\ t,\ u$に対して$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{x}$の大きさが最小となるときの$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{x}$が${120}^\circ$の角をなすときの$s$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{y}$が$\overrightarrow{a}$にも$\overrightarrow{b}$にも垂直となるときの$t,\ u$の値を求めよ．