座標空間に$4$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(s,\ s,\ s),\quad \mathrm{B}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{C}(0,\ 0,\ 1) \]
がある．ただし，$s>0$とする．$t,\ u,\ v$を実数とし，
\[ \overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-t \overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{e}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-u \overrightarrow{\mathrm{OA}}-v \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$のとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{e}$のとき，$u,\ v$を$s$を用いて表せ．
(3)$(2)$のとき，$2$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d},\quad \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\overrightarrow{e} \]
となる点とする．四面体$\mathrm{OADE}$の体積が$2$であるとき，$s$の値を求めよ．

$e$を自然対数の底，すなわち$\displaystyle e=\lim_{t \to \infty} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^t$とする．すべての正の実数$x$に対し，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x<e<\left( 1+\frac{1}{x} \right)^{x+\frac{1}{2}} \]

$a$を$1<a<3$をみたす実数とし，座標空間内の$4$点
\[ \mathrm{P}_1(1,\ 0,\ 1),\quad \mathrm{P}_2(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{P}_3(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{Q}(0,\ 0,\ a) \]
を考える．直線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{Q}$と$xy$平面の交点をそれぞれ$\mathrm{R}_1$，$\mathrm{R}_2$，$\mathrm{R}_3$として，三角形$\mathrm{R}_1 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_3$の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を最小にする$a$と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

実数$t$に対し，複素数
\[ \left( \frac{1}{2}+\cos t+i \sin t \right)^2 \]
の実部を$f(t)$，虚部を$g(t)$とする．座標平面上に
\[ \text{曲線}C:x=f(t),\quad y=g(t) \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
がある．

(1)$0 \leqq t \leqq \pi$のとき$f(t)$のとる値の範囲を求めよ．

(2)曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( f \left( \frac{\pi}{3} \right),\ g \left( \frac{\pi}{3} \right) \right)$における接線の方程式を求めよ．

(3)曲線$C$の$y \leqq 0$の範囲にある部分と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．

(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．

関数$f(x)=8x^3-6x-1$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$を満たす実数$x$の個数を求めよ．

(2)$\displaystyle a=\cos \frac{5\pi}{9}$とするとき，$f(a)$の値を求めよ．

(3)不等式
\[ -\frac{1}{5}<\cos \frac{5 \pi}{9}<-\frac{1}{6} \]
を証明せよ．

座標平面において，$x$軸上に$3$点$(0,\ 0)$，$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0) (0<\alpha<\beta)$があり，曲線$C:y=x^3+ax^2+bx$が$x$軸とこの$3$点で交わっているものとする．ただし，$a,\ b$は実数である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$と$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．$S$を$\alpha$と$\beta$の式で表せ．
(2)$\beta$の値を固定して，$0<\alpha<\beta$の範囲で$\alpha$を動かすとき，$S$を最小とする$\alpha$を$\beta$の式で表せ．

$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．

(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．

$t$を$0<t<1$を満たす実数とする．面積が$1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$をそれぞれ$2:1$，$t:1-t$，$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BF}$，$\mathrm{BF}$と$\mathrm{CD}$，$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AE}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$3$直線$\mathrm{AE}$，$\mathrm{BF}$，$\mathrm{CD}$が$1$点で交わるときの$t$の値$t_0$を求めよ．



以下，$t$は$0<t<t_0$を満たすものとする．


\mon[$(2)$] $\mathrm{AP}=k \mathrm{AE}$，$\mathrm{CR}=\ell \mathrm{CD}$を満たす実数$k,\ \ell$をそれぞれ求めよ．
\mon[$(3)$] 三角形$\mathrm{BCQ}$の面積を求めよ．
\mon[$(4)$] 三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$a$を実数とするとき，不等式$|n-a|+|n-6| \leqq 6$をみたす整数$n$の個数を求めなさい．