以下の問いに答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$に対して，次の命題が成り立つことを証明せよ．
\[ a^2-b^2>0 \ \text{ならば} \ a-b>0 \ \text{である．} \]
(2)実数$x,\ y$が$xy>0$をみたすとき，不等式$|x+y|>|x-y|$を証明せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)三角関数の加法定理を用いて，次の等式を証明せよ．
\[ \sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \]
(2)次の不等式を証明せよ．$|\sin \alpha-\sin \beta| \leqq |\alpha-\beta|$ \\
必要ならば，実数$\theta$に対して成り立つ不等式$|\sin \theta| \leqq |\theta|$を用いてよい．
(3)数列$\{a_n\}$を，次の条件によって定める．
\[ a_1=\frac{\pi}{2},\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}\sin a_n+\frac{\pi}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+2|-a_{n+1}} \leqq \frac{1}{2} |a_{n+1|-a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(4)(3)の数列$\{a_n\}$に対して，次の不等式を証明せよ．$\displaystyle |a_{n+1|-a_n} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^n$ \ $(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

座標平面上の直線$y=x$を$\ell$とし，2点A$(1,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を考える．直線$\ell$上を動く点をP$(p,\ p)$とする．また，$\overline{\text{PQ}}$は点Pと点Qの間の距離を表すとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$上のすべての点Pに対して，$\overline{\text{PA}}=\overline{\text{PC}}$となるような$y$軸上の動かない点Cの座標を求めよ．
(2)$\overline{\text{PA}}+\overline{\text{PB}}$が最小となるような点Pの座標を求めよ．
(3)$a$は実数とする．直線$\ell$上のすべての点Pに対して，$a \cdot \overline{\text{PA}}^2+(1-a) \cdot \overline{\text{PB}}^2>0$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

関数$y=f(x)$は$0$以上の実数$x$に対して定義され，正の値をとる関数である．図はこの関数のグラフの一部を表している．$0 \leqq t<u$を満たす$2$つの実数$t$と$u$に対して，$x$軸，$2$つの直線$x=t$，$x=u$とこのグラフとで囲まれた領域（網掛け部分）の面積を$S(t,\ u)$と書くことにする．また，面積が$S(t,\ u)$と等しい長方形$\mathrm{ATUB}$を図のようにとり，その高さ$\mathrm{AT}$を$g(t,\ u)$で表すとき，$g(t,\ u)$は$t,\ u$の式として次のようになった．
\[ g(t,\ u)=t^2+tu+u^2+t+u+5 \]
以下の問に答えなさい．

(1)$S(1,\ 3)$を求めなさい．
(2)$S_0(x)=S(0,\ x)$とおく．このとき，$g(t,\ u)$を関数$S_0(x)$を用いて表しなさい．
(3)正の実数$x$に対して，$f(x)$を求めなさい．
（図は省略）

$a$は$a \leqq 1$を満たす実数の定数とする．$x \geqq 1-a$で連続な関数$f(x)$が
\[ \int_{1-a}^x f(t)(x-t) \, dt=24(x+a)^2 \log (x+a)-x^4-24x \quad (x \geqq 1-a) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$の値と$f(x)$を求めよ．
(2)$x \geqq 1-a$で$f(x)$の増減をしらべ，極値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$4$次方程式
\[ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \]
を考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d,\ e$は定数で，$a \neq 0$とする．$x=t+\alpha$（$\alpha$は定数）とおいて，$t$に関する$4$次方程式
\[ t^4+Ct^2+Dt+E=0 \]
の形にする．このとき$D=0$となる条件式を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表せ．
(2)$R$を正の実数とする．極限値
\[ \lim_{R \to \infty} \int_1^{R^2} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{2} \, dx \]
を求めよ．
(3)地震のエネルギー$(E)$とマグニチュード$(M)$の間には
\[ \log_{10}E=4.8+1.5M \]
の関係がある（単位系は省略）．$2009$年$8$月に起きた駿河湾地震のマグニチュードは$6.5$であり，気象庁によればこの地震は予想されている東海地震とは異なる．東海地震のマグニチュードは$8$程度と想定されており，それを$8.0$と仮定してこの二つの地震のエネルギーの比を求めたい．駿河湾地震のエネルギーを$E_S$，東海地震のそれを$E_T$とおき
\[ \frac{E_T}{E_S} \]
を求めよ．簡単のために近似値$10^3 \fallingdotseq 2^{10}$，$\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41$を用いて計算し，小数点以下は切り捨てること．

$n$は自然数とする．$1$以上の実数$a,\ d$と正の実数$b,\ c$を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
に対し，$n$個の積$A^n$を
\[ A^n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right),\quad A^1=A \]
とおく．また，$0<v \leqq u$をみたす実数$u,\ v$と正の実数$\lambda$に対して，$A$は等式
\[ A \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right) \]
をみたすとする．以下の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \left( 1+\frac{v}{u} \right) \lambda^n \leqq a_n+b_n+c_n+d_n \leqq \left( 1+\frac{u}{v} \right) \lambda^n \]
を示せ．
(2)$M$を$\displaystyle 1+\frac{1}{b}$と$\displaystyle 1+\frac{1}{c}$の大きい方（$b=c$の場合はどちらでも良い）とするとき，不等式
\[ a_n+b_n+c_n+d_n<M(a_{n+1}+d_{n+1}) \]
を示せ．
(3)数列
\[ \left\{ \frac{1}{n} \log (a_n+d_n) \right\} \]
の極限値を求めよ．