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千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第4問
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く.点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と,点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.

(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第3問
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.

(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.

(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.

(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第4問
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.

(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.

(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.

(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第1問
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.

(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.

(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.

(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第5問
曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く.正の実数$r$に対して,$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる.ただし,$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする.

(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第4問
$a$は$0<a<2$を満たす定数とする.$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して,座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ t^2)$,$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$,$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える.このとき,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第4問
曲線$C:y=\sin x$上を点$\displaystyle \mathrm{P}(t,\ \sin t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$が動く.正の実数$r$に対して,$\mathrm{P}$における$C$の接線上に$\mathrm{PQ}=r$となるように点$\mathrm{Q}$をとる.ただし,$\mathrm{Q}$の$x$座標は$t$よりも大きいとする.

(1)$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$のときに$\mathrm{Q}$の$y$座標が最大となるような$r$の値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第5問
$a$は$0<a<2$を満たす定数とする.$0 \leqq t \leqq 1$を満たす実数$t$に対して,座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(t,\ 0)$,$\mathrm{B}(2,\ t^2)$,$\mathrm{C}(2-t,\ 2)$,$\mathrm{D}(0,\ 2-at)$を考える.このとき,四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S(t)$が最小となるような$t$の値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第5問
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く.点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と,点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.

(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第1問
座標平面上にすべての内角が${180}^\circ$未満の四角形$\mathrm{ABCD}$がある.原点を$\mathrm{O}$とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく.$k$は$0 \leqq k \leqq 1$を満たす定数とする.$0$以上の実数$s,\ t,\ u$が$k+s+t+u=1$を満たしながら変わるとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=k \overrightarrow{a}+s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}+u \overrightarrow{d} \]
で定められる点$\mathrm{P}$の存在範囲を$E(k)$とする.

(1)$E(1)$および$E(0)$を求めよ.

(2)$\displaystyle E \left( \frac{1}{3} \right)$を求めよ.

(3)対角線$\mathrm{AC}$,$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{M}$とする.どの$\displaystyle E(k) \left( \frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{1}{2} \right)$にも属するような点$\mathrm{P}$を考える.このような点$\mathrm{P}$が存在するための必要十分条件を,線分$\mathrm{AC}$,$\mathrm{AM}$の長さを用いて答えよ.
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