「実数解」について
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国立 滋賀医科大学 2015年 第1問$a$を定数とする．$x>0$における関数
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 名古屋大学 2015年 第1問次の問に答えよ．
(1)関数$f(x)=x^{-2}2^x (x \neq 0)$について，$f^\prime(x)>0$となるための$x$に関する条件を求めよ．
(2)方程式$2^x=x^2$は相異なる$3$個の実数解をもつことを示せ．
(3)方程式$2^x=x^2$の解で有理数であるものをすべて求めよ．
(1)関数$f(x)=x^{-2}2^x (x \neq 0)$について，$f^\prime(x)>0$となるための$x$に関する条件を求めよ．
(2)方程式$2^x=x^2$は相異なる$3$個の実数解をもつことを示せ．
(3)方程式$2^x=x^2$の解で有理数であるものをすべて求めよ．
国立 茨城大学 2015年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$0$でない$2$つの実数$a,\ b$が$a+b+1=0$を満たすとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{1}{ab}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(2)$x$の$3$次方程式$x^3-(m+1)x^2-x+m+1=0$が異なる$3$つの実数解をもつとする．これら$3$つの実数解からなる数列が公差$2$の等差数列となるような定数$m$の値をすべて求めよ．
(3)${21}^{2015}$を$400$で割ったときの余りを求めよ．
(1)$0$でない$2$つの実数$a,\ b$が$a+b+1=0$を満たすとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{1}{ab}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(2)$x$の$3$次方程式$x^3-(m+1)x^2-x+m+1=0$が異なる$3$つの実数解をもつとする．これら$3$つの実数解からなる数列が公差$2$の等差数列となるような定数$m$の値をすべて求めよ．
(3)${21}^{2015}$を$400$で割ったときの余りを求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第4問方程式$x-(y-k)^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}((t-k)^2,\ t)$があって，点$\mathrm{P}$と点$(k^2,\ 0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k>0$とする．
(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．
(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)実数$k$に対し，方程式$x |1-\abs{x|}=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(2)赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つとする．
(i) この袋から$1$個の玉を取り出すとき，赤玉が出る確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$である．
(ii) この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{1}{7}$である．
(iii) この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{6}{35}$である．
このとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．
(1)実数$k$に対し，方程式$x |1-\abs{x|}=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(2)赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つとする．
(i) この袋から$1$個の玉を取り出すとき，赤玉が出る確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$である．
(ii) この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{1}{7}$である．
(iii) この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{6}{35}$である．
このとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第2問関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
国立 山形大学 2015年 第1問次の各問に答えよ．
(1)実数$k$に対し，方程式$x |1-\abs{x|}=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(2)赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つとする．
(i) この袋から$1$個の玉を取り出すとき，赤玉が出る確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$である．
(ii) この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{1}{7}$である．
(iii) この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{6}{35}$である．
このとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．
(1)実数$k$に対し，方程式$x |1-\abs{x|}=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(2)赤玉$a$個，白玉$b$個，青玉$c$個が入っている袋があり，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$が成り立つとする．
(i) この袋から$1$個の玉を取り出すとき，赤玉が出る確率は$\displaystyle\frac{1}{2}$である．
(ii) この袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{1}{7}$である．
(iii) この袋から$3$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉と青玉が$1$個ずつ出る確率は$\displaystyle\frac{6}{35}$である．
このとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第2問関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
(5)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を負の実数とする．関数$g(x)=x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4$に対し，$g(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．$x<0$のとき，$g(x)-g(-x)>0$を示せ．$g(x)=0$の正の実数解を$q$とおく．$x \leqq -q$のとき，$g(x)>0$を示せ．
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
(5)$b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$を負の実数とする．関数$g(x)=x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4$に対し，$g(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．$x<0$のとき，$g(x)-g(-x)>0$を示せ．$g(x)=0$の正の実数解を$q$とおく．$x \leqq -q$のとき，$g(x)>0$を示せ．
国立 山形大学 2015年 第4問関数$f(x)=x^3+a_1x^2+a_2x+a_3$について，次の問に答えよ．ただし，$a_1$，$a_2$，$a_3$は負の実数とする．
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
(1)$f^\prime(x)=0$は正の実数解と負の実数解を$1$つずつもつことを示せ．
$f^\prime(x)=0$の正の実数解を$\alpha$，負の実数解を$\beta$とおくとき，$-\alpha<\beta$を示せ．
(2)$f(x)=0$の正の実数解は，ただ$1$つであることを示せ．
(3)$f(x)+f(-x)<0$を示せ．
(4)$f(x)=0$の正の実数解を$p$とおく．$x \leqq -p$のとき，$f(x)<0$を示せ．
国立 島根大学 2015年 第2問$a$を実数とし，関数$f(x)=4^x+a \cdot 2^{x-1}+a$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の最小値が$-2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(1)関数$f(x)$の最小値が$-2$となるとき，$a$の値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．