サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．

(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．
(3)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta<1$が成り立つ確率を求めよ．

サイコロを$3$回投げて出た目の数を順に$p_1$，$p_2$，$p_3$とし，$x$の$2$次方程式
\[ 2p_1x^2+p_2x+2p_3=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．

(1)方程式$(*)$が実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$(*)$が実数でない$2$つの複素数解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$\alpha\beta=1$が成り立つ確率を求めよ．

$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．

$f(x)$は$x$の$3$次多項式とし，$x^3$の係数は$1$，定数項は$0$とする．$2$つの異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して$f^\prime(\alpha)=f^\prime(\beta)=0$が満たされているとする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\alpha),\ f(\beta)$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)不等式$\alpha<\beta<3\alpha$が成り立つとき，$3$次方程式$f(x)=-1$の実数解の個数を求めよ．

$b$を$b>2 \sqrt{2}$を満たす実数とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$f(x)=x+(e^x-b)e^x$とするとき，方程式$f(x)-a=0$が異なる$3$個の実数解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．
(2)実数$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとする．このとき，点$(a,\ b)$を中心とする円で，曲線$y=e^x$と異なる$4$点で交わるものが存在することを示せ．

$a$を実数とする．$x$に関する方程式
\[ |x^2-6x-\abs{x-6|}+x=a \]
の実数解の個数を求めよ．

$m$を実数とする．$x$に関する方程式
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．

$m$を実数とする．$x$に関する方程式
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)$a$を定数とし，$1<a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
が異なる$3$つの実数解をもつとき，その$3$つの実数解をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．

\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．

(2)$a$を定数とし，$a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．