次の各問に答えよ．

(1)整式$(a+b-7)^3-(a-b+7)^3$を因数分解すると，
\[ 2(b-[ア])([イ]a^2+b^2-[ウエ]b+[オカ]) \]
となる．
(2)$\log_2 x+\log_2 y=4$のとき，$x^2+y^2$の最小値は$[キク]$で，そのときの$x,\ y$の値は$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)各辺の長さが$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=8$，$\mathrm{CA}=6$である$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$，$\angle \mathrm{A}$の外角の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[サシ]$である．
(4)$k$を定数とするとき，方程式$x^3+3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解をもつための必要十分条件は$-[ス]<k<[セソ]$である．

$2$次方程式$x^2-kx-2k=3$が実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$k \leqq -[ア]$，$-[イ] \leqq k$である．また，この$2$次方程式の$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta (\alpha \geqq \beta)$とするとき，$\alpha,\ \beta$が$\alpha^2+\beta^2=3$を満たすならば，
\[ k=-[ウ],\quad \alpha=\frac{-[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]} \]
である．

$3$次方程式$x^3+3x^2+3x-7=0$の$3$つの解のうち，実数解を$\alpha$とし，他の$2$つの解を$\beta,\ \gamma$とする．複素平面上の点を$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$，$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$の長さは$[　]$であり，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさは$[　]$である．

$x \geqq 0$に対して，$\displaystyle f(x)=\int_0^{2x} |t(t-x)| \, dt-\frac{9}{2}x^2+6x+\frac{1}{2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$の$3$次式で表せ．
(2)$f(x)-a=0$が互いに異なる$3$つの実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

$2$次方程式$x^2+(2a-2)x+2a+6=0$が次の条件をみたすとき，それぞれ定数$a$の値の範囲を求めよ．

(1)異なる$2$つの実数解が$x>0$の範囲にある．
(2)$-6<x<0$の範囲に少なくとも$1$つの実数解がある．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように，定数$k$の範囲を定めよ．
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\cos A$の値を求めよ．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると，三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ．また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ．

$2$つの$2$次方程式$x^2+ax-(b+1)=0$と$bx^2+2bx-(a+2)=0$がともに実数解をもたないような実数の組$(a,\ b)$の存在する領域を，$ab$平面上に図示せよ．

$\theta$は$0 \leqq \theta<2\pi$をみたす実数とする．
\[ f(x)=x^2-(2 \cos \theta)x-\sin^2 \theta+\sin \theta+\frac{1}{2} \]
とおくとき，以下の問いに答えなさい．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を求めなさい．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$\theta$の範囲を求めなさい．
(3)$\theta$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(\theta)$とする．$S(\theta)$を最大にする$\theta$の値と，$S(\theta)$の最大値を求めなさい．

$a,\ b$は定数で$b>0$とする．$2$つの$2$次方程式

$x^2+2ax-a^2+b=0 \qquad \cdots①$
$\displaystyle x^2+ax+a+\frac{5}{4}=0 \qquad \;\!\cdots②$

について，以下の問いに答えなさい．

(1)$b=2$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$がともに実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{2}$とするとき，$2$つの$2$次方程式$①$と$②$のどちらか一方だけが実数解をもつような$a$の値の範囲を求めなさい．
(3)$2$次方程式$①$が実数解をもち，$2$次方程式$②$が実数解をもたないような$a$の値の範囲を$b$を用いて表しなさい．

$n$を自然数とし，$p_n,\ q_n$を実数とする．ただし，$p_1,\ q_1$は$p_1^2-4q_1=4$を満たすとする．$2$次方程式$x^2-p_nx+q_n=0$は異なる実数解$\alpha_n,\ \beta_n$をもつとする．ただし，$\alpha_n<\beta_n$とする．$c_n=\beta_n-\alpha_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$は
\[ \frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$r_n=\log_2 (n \sqrt{n}+\sqrt{n})$とするとき，$\displaystyle \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}}$を$r_n,\ r_{n+1}$を用いて表せ．
(2)$c_n$を$n$の式で表せ．
(3)$p_n=n \sqrt{n}$であるとき，$q_n$を$n$の式で表せ．