$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c$，$g(x)=4x+1$がある．$x$は$0 \leqq x \leqq a$を満たす．ただし，$a$は整数，$c$は実数とする．

$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，


(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．

$t$を正の実数とし，$x$の$2$次方程式
\[ x^2-2 \{(\log_2 t)^2+1\}x+6(\log_2 t)^2+1=0 \]
を考える．

(1)上の$2$次方程式の実数解が存在しない$t$の範囲を求めよ．

上の方程式が実数解を持つ$t$に対して，実数解がただ$1$つのときはその値を$f(t)$と定め，実数解が$2$つあるときは小さいほうの値を$f(t)$と定める．

(2)上の$2$次方程式の実数解がただ$1$つ存在する$t$の集合を$A$とする．$t \in A$のとき$f(t)$の最小値と最大値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 1 \leqq \log_4 t \leqq \frac{3}{2}$を満たす範囲を動くとき，$f(t)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，

(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．

(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，

(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．

(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．


(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，

(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．

(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．


(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，

(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．

(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．

$i$を虚数単位，$k$を実数とするとき，$3$次方程式$\displaystyle 2x^3-(6k+3i)x^2-\frac{4}{3}x-9+2i=0$が$2$つの異なる実数解をもつための必要十分条件は$\displaystyle k=-\frac{[$24$]}{[$25$]}$であり，その$2$つの実数解は$\displaystyle x=\pm \frac{\sqrt{[$26$]}}{[$27$]}$である．

次の空欄$[ア]$～$[シ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$m,\ n$で等式$m^2-n^2=15$を満たすのは，
\[ (m,\ n)=([ア],\ [イ]) \quad \text{と} \quad (m,\ n)=([ウ],\ [エ]) \]
である．
(2)方程式$x^3-(3+a)x^2+(2+3a)x-2a=0$の異なる実数解が$2$個であるときの実数$a$の値をすべて挙げると$[オ]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$4 \cos \theta-\sin \theta=1$が成り立つとき，$\tan \theta$の値は$[カ]$である．
(4)実数$x$に関する不等式$2^{2x}-2^{x+1}-48<0$を解くと$x<[キ]$である．
(5)$\sqrt{3},\ \sqrt[3]{5},\ \sqrt[4]{7},\ \sqrt[6]{19}$のうち，最小のものは$[ク]$である．
(6)大中小の$3$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，出た目の和が$7$になる場合の数は$[ケ]$通りある．
(7)食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$がある．食品$\mathrm{X}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$80$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$4 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$20 \, \mathrm{mg}$含む．食品$\mathrm{Y}$は$100 \, \mathrm{g}$あたり$60$円で，栄養素$\mathrm{a}$を$2 \, \mathrm{mg}$，栄養素$\mathrm{b}$を$60 \, \mathrm{mg}$含む．栄養素$\mathrm{a}$を$8 \, \mathrm{mg}$以上，栄養素$\mathrm{b}$を$80 \, \mathrm{mg}$以上になるように食品$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を混合するとき，費用を最小にするには食品$\mathrm{X}$を$[コ] \, \mathrm{g}$と食品$\mathrm{Y}$を$[サ] \, \mathrm{g}$混ぜればよい．

(8)$\displaystyle S=\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{6 \cdot 7 \cdot 8}$とするとき，$S$の値は$[シ]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．

(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は，$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．
(2)（指定範囲外からの出題だったため，全員正解とした．）
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である．

$2$次方程式$\displaystyle (\log_4 a-1)x^2+(\log_2 a-2)x+\log_4 \frac{1}{a}=0$について，以下の設問に答えよ．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)この方程式が異なる$2$つの負の解を持つような定数$a$の値の範囲を求めよ．

$3$次方程式
\[ x^3+(1-2a)x^2+(b-2a)x+b=0 \cdots\cdots① \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)すべての実数$a,\ b$について，$①$は$a,\ b$によらない実数解を持つ．その解を求めよ．
(2)$①$が実数の$3$重解を持つとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(3)$①$が$2$つの相異なる実数解を持つとき，$a,\ b$が取り得る値を図示せよ．

関数$f(x)=(x-k)^2$と$g(x)=-(x-2)^2+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)曲線$y=g(x)$について，傾きが$-2$である接線の方程式を求めよ．また，その接点の座標を求めよ．
(2)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた範囲にある数とする．さらに，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq (x-k)^2 \\
y \leqq -(x-2)^2+4 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \]
を満たす領域を動くとき，$y+2x$の最大値が$9$となるような$k$の値の範囲を求めよ．