次の初項と漸化式で定まる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=e^{-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
ここで，$e$は自然対数の底で，$1<e<3$である．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)すべての自然数$n$について$\displaystyle \frac{1}{3}<a_n<1$が成り立つことを示しなさい．
(2)方程式$x=e^{-x}$はただ1つの実数解をもつことと，その解は$\displaystyle \frac{1}{3}$と1の間にあることを示しなさい．
(3)関数$f(x)=e^{-x}$に平均値の定理を用いることによって，次の不等式が成り立つことを示しなさい．
\begin{align}
\frac{1}{3} \text{と1との間の任意の実数}x_1,\ x_2 \text{について，} \nonumber \\
|f(x_2)-f(x_1)| \leqq e^{-\frac{1}{3}} |x_2-x_1| \nonumber
\end{align}
(4)数列$\{a_n\}$は，方程式$x=e^{-x}$の実数解に収束することを示しなさい．

関数$f(x)$は，すべての実数$x$に対して$f(x+2\pi)=f(x)$を満たす連続な関数とし，$\displaystyle \int_0^{2\pi} f(t) \, dt>0$とする．さらに
\[ g(x)=x^3+(3x^2-1) \int_0^\pi f(2t+x) \, dt \]
とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_0^a f(t) \, dt=\int_{2 \pi}^{a+2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(2)すべての実数$a$に対して$\displaystyle \int_a^{a+2\pi} f(t) \, dt=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$が成り立つことを示せ．
(3)関数$g(x)$は3次関数であることを示せ．
(4)関数$g(x)$の極大値と極小値を$\displaystyle c=\int_0^{2\pi}f(t) \, dt$を用いて表せ．
(5)方程式$g(x)=0$の異なる実数解がちょうど2個のとき，$c$の値を求めよ．

$n$を自然数とし，集合$A,\ B$を
\begin{align}
A= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(★)をみたす自然数} \} \nonumber \\
B= \{ \ a \;|\; a & \text{\ は条件(☆)をみたす自然数} \} \nonumber
\end{align}
で定める．ただし，条件(★)，(☆)は次で与えられるとする．

\mon[(★)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha-\beta$は整数である．
\mon[(☆)] $2$次方程式$x^2-ax+2^n=0$は異なる$2$つの整数解$\alpha,\ \beta$をもつ．


(1)$2$つの集合$A,\ B$について，$A=B$が成り立つことを証明せよ．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $n=1,\ 2$のそれぞれの場合について，集合$A$を，要素を書き並べて表せ．
(ii) 集合$A$の要素のうち，最大の数を求めよ．
(iii) 集合$A$のすべての要素の和を求めよ．

$a$を0以上の実数とし，$x>-1$で定義された関数
\[ f(x)=2x^2+(1-a^2) \log (x+1) \]
について，次の各問いに答えよ．

(1)方程式$f^\prime(x)=0$が$x>-1$で異なる2つの実数解をもつような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)$a$が(1)で求めた範囲にあるとき，関数$f(x)$の極小値は$\displaystyle \frac{1-2 \log 2}{2}$より大きいことを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$y=|x^2-1|$のグラフを描け．
(2)$a,\ b$を実数とする．$x$についての方程式
\[ |x^2-1|-ax-b=0 \]
が異なる4つの実数解を持つような点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(3)(2)の方程式の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma,\ \delta$とするとき，$\delta-\gamma=\gamma-\beta=\beta-\alpha$が成り立つときの$a,\ b$を求めよ．

次の$x$に関する$2$つの$2$次方程式をそれぞれ$①$，$②$とおく．
\[ \begin{array}{ll}
x^2+ax+4=0 & \cdots\cdots① \\
x^2+2ax+4a+5=0 & \cdots\cdots②
\end{array} \]
ただし，$a$は実数とする．

(1)$2$次方程式$①$が実数解を持つような$a$の値の範囲と，$2$次方程式$②$が実数解を持つような$a$の値の範囲をそれぞれ求めよ．
(2)$2$次方程式$①$と$②$が共に実数解を持つような$a$の値の範囲を求めよ．また，$2$次方程式$①$と$②$のいずれか一方だけが実数解を持つような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$2$次方程式$①$が異なる実数解$\alpha_1,\ \alpha_2 (\alpha_1>\alpha_2)$を持ち，かつ$2$次方程式$②$が異なる実数解$\beta_1,\ \beta_2 (\beta_1>\beta_2)$を持つとする．$4<\alpha_1<5$かつ$11<\beta_1<12$となるような$a$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=x^3-px^2+(p^2-2p)x+q$（$p>0$，$q>0$，$p$および$q$は整数とする）について考える．$f(x)=0$が$1$つの負の実数解と相異なる$2$つの正の実数解をもつとき，$pq$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，関数$y=\cos 2\theta-2 \sin \theta$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[ア]$であり，最小値とそのときの$\theta$の値を求めると$(y,\ \theta)=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$を係数とする方程式$x^3+ax^2+bx-4=0$の解の$1$つが$1-i$であるとき，残りの解のうち実数解を求めると$x=[ウ]$であり，$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位である．
(3)$x$についての方程式$9^x-a \cdot 3^x+a^2-a=0$が$2$つの異なる実数解をもつとき，定数$a$のとりうる値の範囲は$[オ]$である．また，$x \geqq \sqrt{2}$，$y \geqq 1$，$x^2y=4$のとき，$(1+\log_2x)(\log_2y)$が最大値をとる$x,\ y$の値を求めると，$(x,\ y)=[カ]$である．
(4)座標平面上に中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$3$の円$C$と，傾きが負で点$\mathrm{A}(5,\ 0)$を通る直線$\ell$を考える．$C$と$\ell$は$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$（$\mathrm{AP}<\mathrm{AQ}$）で交わるとする．$\angle \mathrm{POQ}$を$\theta$とするとき，$\triangle \mathrm{PQO}$の面積$S_1$を$\theta$を用いて表すと$S_1=[キ]$である．また，点$\mathrm{B}$の座標を$(-3,\ 0)$とするとき，$\triangle \mathrm{PQB}$の面積$S_2$の最大値は$[ク]$である．

$3$次関数$f(x)=x^3-9px^2+15p^2x-q$について，次の問に答えよ．

(1)$p=1$，$q=0$のとき，$x=[ナ]$で極小値$[ニヌネ]$をとり，$x=[ノ]$で極大値$[ハ]$をとる．
(2)$p$を正の定数とする．$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解を持つときの$q$の範囲は，$[ヒフヘ]p^3<q<[ホ]p^3$である．

方程式$(m+1)x^2+2(m-1)x+2m-5=0$がただ$1$つの実数解をもつとき，定数$m$の値を求めなさい．