「実数解」について
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公立 富山県立大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$n$は$0$または正の整数とする．$\comb{n}{0}+3 \cdot \comb{n}{1}+3^2 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +3^n \cdot \comb{n}{n}=4^n$を示せ．
(2)$3$次方程式$x^3-x^2+2x-1=0$の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．
(1)$n$は$0$または正の整数とする．$\comb{n}{0}+3 \cdot \comb{n}{1}+3^2 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +3^n \cdot \comb{n}{n}=4^n$を示せ．
(2)$3$次方程式$x^3-x^2+2x-1=0$の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．
国立 秋田大学 2010年 第3問$\log x$は$x$の自然対数であり，自然対数の底$e$の値は$2.718\cdots\cdots$である．$f_0(x)=1$とし，自然数$n$に対して$f_n(x)=(\log x)^n$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．
(1)方程式$f_n(x)=x$が異なる3つの実数解をもつときの$n$をすべて求めよ．必要ならば，すべての自然数$n$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{x}=0$であることを用いてもよい．
(2)$\displaystyle a_0=\int_1^e f_0(x) \, dx$とし，$\displaystyle a_n=\frac{1}{n!}\int_1^e f_n(x) \, dx$とする．自然数$n$に対して$a_{n-1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(3)(2)の関係式を用いて，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$を求めよ．
国立 岡山大学 2010年 第3問$a,\ b$を実数とし，$a \neq 0$とする．$x$についての$3$次方程式
\[ ax^3+ (a+1)x^2+(b+1)x+b=0 \cdots\cdots① \]
を考える．
(1)$a = b = 1$のとき，$①$の実数解を求めよ．
(2)$\maru{1}$がちょうど2つの相異なる実数解を持つ条件を$a,\ b$を用いて表せ．
\[ ax^3+ (a+1)x^2+(b+1)x+b=0 \cdots\cdots① \]
を考える．
(1)$a = b = 1$のとき，$①$の実数解を求めよ．
(2)$\maru{1}$がちょうど2つの相異なる実数解を持つ条件を$a,\ b$を用いて表せ．
国立 静岡大学 2010年 第1問$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第1問$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
国立 静岡大学 2010年 第1問$k$を定数とする．2次方程式$x^2+(3k-2)x+4k = 0$が2つの実数解$\alpha,\ \beta$をもち，$\alpha,\ \beta$は$0<\alpha<1<\beta$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(1)$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$(\beta-\alpha)^2$を$k$を用いて表せ．
(3)$\alpha$と$\beta$の差が整数であるときの$k$および$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第3問$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
国立 広島大学 2010年 第2問$p,\ a$を実数の定数とする．多項式$P(x) = x^3-(2p+a)x^2 + (2ap+1)x-a$を$x-3$で割った余りが$10-6p$であり，3次方程式$P(x) = 0$の実数解は$a$のみとする．次の問いに答えよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
(1)実数の範囲で$P(x)$を因数分解せよ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)関数$y = P(x)$が極値をもたないときの$p$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2010年 第5問関数$f(x)$が次の式で与えられている．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が2つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が2つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．
国立 岩手大学 2010年 第5問関数$f(x)$が次の式で与えられている．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．
\[ f(x)=x^2-f^{\, \prime}(a)x+\int_{-b}^0f^{\, \prime}(t)\, dt \]
ここで，$a$と$b$は定数である．方程式$f(x)=0$が$2$つの異なる実数解$\alpha$と$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．
(1)$f^{\,\prime}(a)$を$\alpha$と$\beta$で表せ．
(2)$a$と$b$を，それぞれ$\alpha$と$\beta$で表せ．