「実数解」について
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公立 福岡女子大学 2012年 第1問$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
公立 福岡女子大学 2012年 第1問$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．
国立 埼玉大学 2011年 第1問実数$a$は，$0<a<1$をみたしているとする．
(1)3次方程式$x^3+3ax^2+3(a^2-1)x=0$は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．
(2)3次方程式$x^3+3ax^2+3(a^2-1)x-2=0$は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．
(1)3次方程式$x^3+3ax^2+3(a^2-1)x=0$は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．
(2)3次方程式$x^3+3ax^2+3(a^2-1)x-2=0$は3つの異なる実数解をもつことを証明しなさい．
国立 秋田大学 2011年 第1問大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b,\ g(x)=x^3-(a+b)x^2+(a+1)bx-b^2$とおく．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(3)方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(3)方程式$g(x)=0$が，異なる整数の解をちょうど$2$個もつ確率を求めよ．
国立 秋田大学 2011年 第2問大小$2$個のさいころを投げて，出る目をそれぞれ$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対し，$f(x)=x^2-ax+b$とおく．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，実数解をもつ確率を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつ確率を求めよ．
国立 名古屋大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．
(1)関数$y=x^3-x^2$のグラフをかけ．
(2)曲線$y=x^3-x^2$の接線で，点$\left(\displaystyle \frac{3}{2},\ 0 \right)$を通るものをすべて求めよ．
(3)$p$を定数とする．$x$の$3$次方程式$\displaystyle y=x^3-x^2=p\left(x-\frac{3}{2}\right)$の異なる実数解の個数を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第2問次の問いに答えよ．
(1)関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とする．このとき，方程式$|\abs{x^2-2x-3|-a}=2$の実数解の個数を求めよ．
(1)関数$y=|x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$a$を実数とする．このとき，方程式$|\abs{x^2-2x-3|-a}=2$の実数解の個数を求めよ．
国立 富山大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
国立 富山大学 2011年 第1問$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．
国立 奈良女子大学 2011年 第5問$a,\ b$は実数で$a<b$をみたすものとする．$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx$とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．