次の問いに答えなさい．

(1)自然数$m,\ n$に対し，命題「$m^2+n^2$が偶数ならば，$m+n$は偶数である」が真ならば「真」と，偽ならば反例を$[$\mathrm{A]$}$に記入しなさい．
(2)$2^x=5^y=100$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=[$\mathrm{B]$}$となる．
(3)$xy$座標平面において，円$x^2+y^2=3$と直線$x+y=1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さは，$[$\mathrm{C]$}$である．
(4)数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にある．表と裏が等しい確率で出るコインを投げ，表が出ると正方向に$1$だけ進み，裏が出ると負方向に$1$だけ進むことを繰り返す．コインを$10$回投げるとき，$\mathrm{P}$の座標が$-6$となる確率は，$[$\mathrm{D]$}$である．
(5)方程式$x^3-3x^2-9x-a=0$が異なる$3$つの実数解を持つとき，定数$a$が満たさなければならない条件を$[あ]$で求めなさい．

次の（ \quad ）を埋めよ．

(1)$x^4-3x^2y^2+y^4$を因数分解すると$( ① )$となる．
(2)$1$個のサイコロを$5$回投げるとき，素数の目がちょうど$4$回出る確率は$( ② )$である．
(3)$x$の$2$次方程式$(a-3)x^2+2(a+3)x+a+5=0$が実数解をもつとき，定数$a$の値の範囲は$( ③ )$である．
(4)$360$の正の約数の個数は$( ④ )$，その総和は$( ⑤ )$．

$x$の$2$次方程式$x^2+2(k+1)x+k^2-5=0$について以下の問いに答えよ．

(1)$k=0$のとき，この方程式の解は$x=[$1$]$である．
(2)この方程式が実数解を持つときの$k$の値の範囲は$[$2$]$である．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$[$1$]$になる．
(2)$-1<a<0<b<c$とするとき，
\[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \]
の$5$つの数のうち，小さい方から$2$番目の数は$[$2$]$であり$4$番目の数は$[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに
\[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \]
の解をすべて記すと$[$4$]$である．
(4)$a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式
\[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \]
の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき，$a=[$5$]$，$b=[$6$]$であり，もう$1$つの解は$[$7$]$である．
(5)$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある．これらを横$1$列に並べるとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で，かつ，$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$[$8$]$である．
(6)$a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は，$a$の値が$[$9$]$の場合には$3$個，$[$10$]$または$[$11$]$の場合には$2$個，$[$12$]$または$[$13$]$の場合には$1$個，それぞれ存在する．
(7)$\alpha$を実数として，空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$[$14$]$であり，このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[$15$]$である．
(8)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる．次に，点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$[$16$]$であり，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[$17$]$である．
（図は省略）

$p$を実数の定数として，実数$x$の関数を$\displaystyle f(x)={25}^x+\frac{1}{{25}^x}+2p \left( 5^x+\frac{1}{5^x}-1 \right)+7$とする．$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．

(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)方程式$g(t)=0$が実数解を$1$個もつとき，$p$の値と解$t$の値を求めよ．
(3)方程式$g(t)=0$が次の条件をみたす$2$個の実数解$t_1,\ t_2$をもつとき，$p$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
\[ (ⅰ) t_1<2,\ t_2>2 \quad (ⅱ) t_1=2,\ t_2>2 \quad (ⅲ) 2<t_1<t_2 \quad \tokeishi t_1<t_2<2 \]
(4)$t$を定数とみなし$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$を$x$の方程式とみなして，方程式$\displaystyle t=5^x+\frac{1}{5^x}$が異なる$2$つの実数解$x$をもつように$t$の値を定めるとき，$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$の異なる実数解$x$の個数を，$p$の値で場合分けして求めよ．

$x$に関する$2$次方程式$x^2+ax+a^2+ab+2=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)$b=3$のとき，この方程式が重解をもつ場合の$a$の値を求めよ．
(2)この方程式が重解をもつ場合の$a$の値が$1$つに定まるとき，$b$の値を求めよ．
(3)どのような$a$の値に対しても，この方程式が実数解をもたないような定数$b$の値の範囲を示せ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

次の各問に答えよ．

(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．

$f(x)=x^3-2x^2-x+1$とする．

(1)方程式$f(x)=0$は$-1<\alpha<0$，$0<\beta<1$，$1<\gamma$をみたす$3$個の実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもつことを示せ．
(2)点$(0,\ 1)$における$y=f(x)$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と$\ell$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$A,\ B,\ C$を$A>B>C>0$をみたす定数とする．$3$つの$2$次方程式
\[ Ax^2-2Bx+C=0,\quad -2Bx^2+Cx+A=0,\quad Cx^2+Ax-2B=0 \]
が共通の実数解$\gamma$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)$B$を$A$と$C$を用いて表せ．
(2)$Ax^2-2Bx+C=0$の$2$つの解を$\alpha_1,\ \beta_1$とする．$\alpha_1>\beta_1$とするとき，$\alpha_1$の値を求めよ．また，$\beta_1$を$A$と$C$を用いて表せ．
(3)$Cx^2+Ax-2B=0$の$2$つの解を$\alpha_2,\ \beta_2$とする．$\alpha_2>\beta_2$とするとき，$\alpha_2$の値を求めよ．また，$\beta_2$を$A$と$C$を用いて表せ．
(4)$-2Bx^2+Cx+A=0$の$\gamma$と異なる解$\theta$を$A$と$C$を用いて表せ．