$1$個のさいころを$2$回投げ，最初に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について，次の問いに答えよ．

(1)実数解は存在すれば正であることを示せ．
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．

$1$個のさいころを$2$回投げ，最初に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．$2$次方程式$x^2-ax+b=0$について，次の問いに答えよ．

(1)実数解は存在すれば正であることを示せ．
(2)実数解の個数が$1$となる確率を求めよ．
(3)実数解の個数が$2$となる確率を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$x$に関する方程式$(k^2-4k+3)x^2-4x+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つような整数$k$は，全部で$[　]$個である．
(2)不等式$\displaystyle \log_4(7x+1)<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \log_2 (2x+9)$を解くと$[　]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$4 \sin^3 \theta+\cos^2 \theta-2 \sin \theta+1$の最大値$M$，最小値$m$を求めると$(M,\ m)=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=x(x^2-4x+3)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$x |x^2-4x+3|=k$の異なる実数解の個数を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ．
(2)$u,\ v$を実数とする．$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき，点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ．
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき，点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ．

以下の問いに答えよ．なお，必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい．
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]

(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(2)$a$を正の実数とし，$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える．

(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ．ただし$a \neq x$とする．

$a$を実数の定数とする．$\displaystyle f(x)=x^3-ax^2+\frac{1}{3}(a^2-4)x$とおくとき，以下の各問に答えよ．

(1)定数$a$の値にかかわらず関数$y=f(x)$は必ず極値をもつことを証明せよ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が$-1<x<2$の範囲に相異なる$3$個の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2-3x+1$について，次の問いに答えなさい．

(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(3)関数$y=|f(x)|$の$-1 \leqq x \leqq 4$における最大値を求めなさい．

$m$を実数とする．$2$つの関数
\[ f(x)=2 |x(x-3)|,\quad g(x)=mx+\frac{1}{2} \]
について，次の各問に答えよ．

(1)方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ．
(2)$m$は$(1)$で求めた値のうち最大のものとする．関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ．