$1$つのさいころを$4$回投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．この$a,\ b,\ c,\ d$を用いて$x$の$2$次式
\[ f(x)=x^2-(a+d)x+(ad-bc) \]
を作る．次の問いに答えよ．

(1)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解を持つことを示せ．
(2)どのようなさいころの目が出たとしても，$2$次方程式$f(x)=0$は少なくとも$1$つの正の実数解を持つことを示せ．
(3)$2$次方程式$f(x)=0$の$2$つの実数解がいずれも$0$以上である確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$以上であることを示せ．

$3$個のサイコロを同時に投げ，出た目の数を大きさの順に$a,\ b,\ c (a \leqq b \leqq c)$とする．

(1)$a<b<c$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$のうち少なくとも二つが$3$となる確率を求めよ．
(3)$b=3$かつ$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が実数解をもつ確率を求めよ．

$a$を実数の定数とし，$5$次多項式$\displaystyle f(x)=x^5-\frac{5}{3}(a^2+1)x^3+5a^2x$を考える．ただし，$a>1$とする．

(1)$5$次方程式$f(x)=0$が$5$つの異なる実数解をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)$f(1)+f(a)$が${(a+1)}^3$で割り切れるかどうかを調べよ．
(3)$a$が$(1)$の条件を満たすとき，$|f(1)|>|f(a)|$となるための$a$の範囲を求めよ．
(4)$a$が$(1)$と$(3)$の条件を満たすとき，$5$次方程式$f(x)-c=0$が$5$つの異なる実数解をもつための実数$c$の範囲を求めよ．

関数$f(x)=ax^3-(a+3)x+a+3$について，次の問いに答えよ．ただし$a$は$0$でない実数とする．

(1)$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする．$x$の方程式$f^\prime(x)=0$が実数解をもつような$a$の範囲を求め，またそのときの実数解をすべて求めよ．
(2)$x$の方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解をもつような$a$の範囲を求めよ．

$k$を実数とする．$x$についての方程式$2^{x+k}-4^x-2^3=0$の実数解について，次の各問に答えよ．

(1)解が存在するときの$k$の条件を求めよ．
(2)正の解と負の解それぞれの個数を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$2$次方程式
\[ x^2+(a-1)x+b+1 = 0 \]
が実数解を持ち、すべての解の絶対値が$1$以下になっているとき，次の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が存在する領域を$D$とする．$D$に含まれる
$a$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$，
$b$の最大値は$[ウ]$，最小値は$[エ]$である．
(2)領域$D$の面積は$[オ]$である．

以下の$[　]$にあてはまる値を答えよ．
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 -3x -1+|x^2-2x-3| \]
とおく．

(1)不等式$x^2-2x-3 \leqq 0$を解くと$[あ]$となる．
(2)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めると$[い]$となる．
(3)関数$y=f(x)$の定義域を$-2 \leqq x \leqq 5$とするとき，値域は$[う]$となる．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，$e$は自然対数の底である．必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0.\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}=0$を用いてもよい．

関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．

(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．

(文学部III)\\
\quad $2$次方程式$x^2+2ax+4a^2-ka+4=0$を$(*)$とおく．ただし，$a$と$k$は実数の定数とする．

(1)$k=8$のとき，$(*)$が実数解を持たないような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$-1$以外のすべての$a$に対して$(*)$が実数解を持たないような$k$の値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．

(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．

(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．

(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．

(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．