次の設問に答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-ax-a+8=0$が，異なる$2$つの正の実数解をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)次の等式を満たす実数$x$の値を求めよ．
\[ |x|+2 |x-2|=x+2 \]

関数$f(x)$は$\displaystyle f^\prime(x)=18 \int_0^1 xf(t) \, dt+1$を満たす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=0$のとき，$f(x)$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \neq 0$であり，方程式$f(x)=0$はただ$1$つの実数解をもつ．このとき，$f(x)$を求めよ．

関数$f(x)=\log (x^2-x+2) \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数を表している．

(1)$y=f(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の極値を求めよ．
(2)$x$についての方程式$\log (x^2-x+2)=x$は$\displaystyle \frac{1}{2}<x<1$の範囲に実数解をただ$1$つもつことを示せ．必要であれば，$\log 2<0.7$，$\log 7>1.9$であることを用いてよい．
(3)$y=f^\prime(x) \ (0 \leqq x \leqq 1)$の最大値と最小値を求めよ．
(4)平均値の定理を用いることで，$0 \leqq a<b \leqq 1$となる実数$a,\ b$に対して，$\displaystyle |f(b)-f(a)|<\frac{1}{2}|b-a|$となることを示せ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$x$の$2$次方程式$2x^2+4(k+2)x+(7k+9)=0$が実数解をもつとき，$k$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$であるとき，この三角形の面積を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とするとき，$a$と$b$の値を求めよ．

次の$[　]$に適切な答えを入れよ．

(1)$3$次方程式$x^3+(a+4)x^2+(4a+5)x+20=0$の$1$つの解が$1+2i$であるとき，実数$a=[ア]$であり，$1$つある実数解は$[イ]$である．
(2)$\log_{10}2=0.301$とするとき，$\log_25$の値を小数点$4$桁以下を切り捨て，小数点$3$桁まで求めると$[ウ]$となる．また，$2^n$が$10$桁の数となる最大の自然数$n$は$[エ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}-2}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．このとき，$b$を$\sqrt{6}$を用いて表すと$b=[ア]$である．また，$a^2-ab-b^2=[イ]$である．
(2)実数$a,\ b$に対して，$3$次方程式$ax^3+(a-2)x^2+(b-3)x-b=0$が$x=1+i$を解として持つとき，$(a,\ b)=[ウ]$であり，この方程式の実数解は$[エ]$である．
(3)$2$次方程式$\displaystyle ax^2-\frac{1}{5}x-\frac{12}{25}=0$の$2$つの解がそれぞれ$\sin \theta$，$\cos \theta$であるとき，$a$の値は$[オ]$であり，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の値は$[カ]$である．
(4)直線$x-y=1$上を動く点$\mathrm{P}$がある．$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ -1)$に対して，$\mathrm{PA}^2+\mathrm{PB}^2+\mathrm{PC}^2$の最小値は$[キ]$であり，このときの$\mathrm{P}$の座標は$[ク]$である．
(5)実数$a$に対して，$x$についての方程式$4^x+a \cdot 2^{x+2}+3a+1=0$が異なる$2$つの実数解を持つとき，$a$のとりうる値の範囲は$[ケ]<a<[コ]$である．

$2$次方程式$kx^2+8kx+3k-9=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとき，以下の問に答えよ．

(1)$|\alpha-\beta|=8$のとき，$k=[コ]$となる．

(2)$8<|\alpha-\beta|<10$のとき，$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}<k<[ス]$となる．
(3)$8<|\alpha-\beta|<10$を満たし，$|\alpha|+|\beta|$が整数になるとき，$\displaystyle k=\frac{[セソ]}{[タチ]}$となる．

$2$次方程式$x^2+(\log_2 n)x+\log_3n=0$が実数解をもたない自然数$n$をすべて求めよ．ただし，$\log_23=1.58$，$\log_25=2.32$とする．

関数$f(x)=(x-7) |x-1|$について，次の問に答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，方程式$f(x)=a$の異なる実数解の個数を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-7$の交点の座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x) (0 \leqq x \leqq 3)$と$2$直線$y=x-7$，$x=3$で囲まれた$2$つの部分の面積の和$S$を求めよ．