「実数解」について
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公立 釧路公立大学 2014年 第2問以下の各問に答えよ．
(1)$x$の$2$次方程式$x^2+ax+a+8=0$が異なる$2$つの実数解をもち，共に$1$より大きくなるような$a$の範囲を求めよ．
(2)${0}^{\circ} \leqq \theta \leqq {180}^{\circ}$のとき，関数$y=\sin^4 \theta-2 \sin^2 \theta+\cos^4 \theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$x$の$2$次方程式$x^2+ax+a+8=0$が異なる$2$つの実数解をもち，共に$1$より大きくなるような$a$の範囲を求めよ．
(2)${0}^{\circ} \leqq \theta \leqq {180}^{\circ}$のとき，関数$y=\sin^4 \theta-2 \sin^2 \theta+\cos^4 \theta$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．
公立 富山県立大学 2014年 第5問$n$は整数の定数とし，$P(x)=x(x+1)(x+5)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(1)$を解け．
(2)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(n)$が異なる$3$つの実数解をもつとき，$n$の値を求めよ．
(1)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(1)$を解け．
(2)$x$についての$3$次方程式$P(x)=P(n)$が異なる$3$つの実数解をもつとき，$n$の値を求めよ．
公立 会津大学 2014年 第5問$a,\ b$を実数の定数とする．関数$f(x)=-x^3+3x^2+ax+b$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$(2)$において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．
(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$(2)$において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．
国立 東北大学 2013年 第1問$a$を実数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-2(a+1)x+3a=0$が，$-1 \leqq x \leqq 3$の範囲に$2$つの異なる実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，放物線$y=x^2-2(a+1)x+3a$の頂点の$y$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2-2(a+1)x+3a=0$が，$-1 \leqq x \leqq 3$の範囲に$2$つの異なる実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，放物線$y=x^2-2(a+1)x+3a$の頂点の$y$座標が取りうる値の範囲を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第4問$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 福岡教育大学 2013年 第4問$f(x)=xe^{-\frac{x}{2}},\ g(x)=\sqrt{e}x$とする．次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$k$を定数とする．$0 \leqq x \leqq 4$の範囲で$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ．
(3)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2013年 第1問関数$\displaystyle f(x)=\log (x+1)-\frac{1}{2}\log (x^2+1) \ (x>-1)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．
(2)$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(1)$f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．
(2)$k$を実数とする．$x$についての方程式$f(x)=k$の相異なる実数解の個数を調べよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
国立 山梨大学 2013年 第2問関数$f(x)=x^3-3a^2x-2a^2$を考える．ただし，$a>1$とする．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)定数$k \ (k<0)$に対して，方程式$f(x)=k$が相異なる$2$つだけの実数解$x_1,\ x_2$をもつとする．このとき，$k,\ x_1,\ x_2$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$x_1<x_2$とする．
(3)$x_1,\ x_2$を(2)で求めた値とするとき，$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$，原点の$3$点を通る放物線を求めよ．
(4)$k$が(2)で求めた値をとるとき，(3)で求めた放物線と直線$y=k$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)定数$k \ (k<0)$に対して，方程式$f(x)=k$が相異なる$2$つだけの実数解$x_1,\ x_2$をもつとする．このとき，$k,\ x_1,\ x_2$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$x_1<x_2$とする．
(3)$x_1,\ x_2$を(2)で求めた値とするとき，$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$，原点の$3$点を通る放物線を求めよ．
(4)$k$が(2)で求めた値をとるとき，(3)で求めた放物線と直線$y=k$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 宮城教育大学 2013年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(3)$a>0,\ b>0,\ ab>1$とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \]
は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．
(1)$a>0,\ b>0$とする．$a \neq b$であるための必要十分条件は，
\[ \frac{a+b}{2}>\sqrt{ab} \]
であることを示せ．
(2)$a>0,\ b>0,\ a \neq b$とする．
\[ p=a+b-\sqrt{ab},\quad q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{\sqrt{ab}} \]
とおくとき，$pq>1$であることを示せ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．
(3)$a>0,\ b>0,\ ab>1$とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-\left( a+\sqrt{\frac{a}{b}} \right)x+\frac{a}{b}=0 \]
は，相異なる$2$つの正の実数解をもつことを示せ．
国立 秋田大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2-2ax+2a+3=0$が異なる$2$つの実数解をもち，その$2$つの実数解がともに$1$以上$5$以下であるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)多項式$4x^4+7x^2+16$を因数分解せよ．
(1)$2$次方程式$x^2-2ax+2a+3=0$が異なる$2$つの実数解をもち，その$2$つの実数解がともに$1$以上$5$以下であるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(2)多項式$4x^4+7x^2+16$を因数分解せよ．