すべての実数$m$に対して，次の$x$についての$2$次方程式が実数解をもつときの，$a$の値の範囲を求めよ．
\[ x^2-4x+3+m(x-a)=0 \]

次の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$x$についての方程式${2}^x+{2}^{-x}=t$の実数解の個数を調べよ．
(2)$a$と$b$を実数とし，$x$についての方程式${4}^x+{4}^{-x}+a({2}^x+{2}^{-x})+b=0$が，ちょうど$3$個の実数解をもつとする．このとき，点$(a,\ b)$の存在する範囲を図示せよ．

$a$を実数とし，$f(x)=x^2+ax+a+3$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+ax+a+3=0$が正の実数解のみをもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標を$g(a)$とする．このとき，$a$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$g(a)$の最大値を求めよ．

サイコロを$2$回続けて振って出た目の数を順に$a,\ b$とする．このとき，$3$次関数$f(x)=x^3-ax+b$について以下の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$3$次方程式$f(x)=0$が相異なる実数解をちょうど$2$つ持つような$a,\ b$の組を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$の組に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)$f(x)=0$が相異なる$3$つの実数解を持つ確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$x$についての方程式${2}^x+{2}^{-x}=t$の実数解の個数を調べよ．
(2)$a$と$b$を実数とし，$x$についての方程式${4}^x+{4}^{-x}+a({2}^x+{2}^{-x})+b=0$が，ちょうど$3$個の実数解をもつとする．このとき，点$(a,\ b)$の存在する範囲を図示せよ．

$x$の$2$次方程式$(*) x^2-2ax+2ab-b^2=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)$(*)$は実数解のみをもつことを証明せよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて出た目の数を順に$a,\ b$とする．この$a,\ b$に対して$(*)$を考え，

「$(*)$は符号の異なる$2$つの解をもつ」という事象を$A$，
「$(*)$の$2$つの解の差の絶対値は$6$以下である」という事象を$B$

とする．ただし，$(*)$が重解をもつときは$(*)$の$2$つの解の差は$0$と考える．このとき，事象$A,\ B$および和事象$A \cup B$の確率$P(A)$，$P(B)$および$P(A \cup B)$をそれぞれ求めよ．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数または式などを解答欄に記入しなさい．

(1)座標平面上に曲線$C_1:y=x^2-1$がある．$x$軸に関して$C_1$に対称な曲線を$C_2$とすると，$C_2$を表す方程式は$[ケ]$である．
$0 \leqq a \leqq 1$とするとき，$-a \leqq x \leqq a$において，曲線$C_2$と直線$y=a^2-1$，および$2$直線$x=-a$，$x=a$で囲まれた図形の面積$S(a)$は，
\[ S(a)=[コ] \]
となる．$S(a)$は，$a=[サ]$のとき最大値$[シ]$をとる．
(2)関数$f(x)=8^x-6 \cdot 4^x+5 \cdot 2^x$を考える．$f(x)=-12$を満たす実数$x$をすべて求めると，$x=[ス]$となる．また，方程式$f(x)=k$が$3$つの実数解をもつような定数$k$の値の範囲は，$[セ]<k<[ソ]$である．

$a_1=0$，$a_{n+1}=\log (a_n+e) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{a_n\}$の収束について調べたい．以下の問いに答えなさい．

(1)方程式$x=\log (x+e)$は$x>0$の範囲でただ$1$つの実数解$\beta$をもつことを証明しなさい．
(2)すべての自然数$n$について$0 \leqq a_n<\beta$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$0<a<b$のとき$\displaystyle \log b-\log a<\frac{b-a}{a}$が成り立つことを証明しなさい．
(4)すべての自然数$n$について$\displaystyle \beta-a_{n+1}<\frac{1}{e}(\beta-a_n)$が成り立つことを証明し，これを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\beta$を示しなさい．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，実数$a,\ b$を求めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，$3$次方程式$2x^3-5x^2+cx+d=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，この$3$次方程式の実数解は$x=[　]$である．ただし，$c,\ d$は実数とする．

次の$[　]$に当てはまるものを下記の$①$～$④$のうちから一つ選び，その番号をマークせよ．ただし，同じものをくり返し選んでもよい．

$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．

このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]