「実数解」について
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国立 大阪大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a$を正の実数とし，$k$を$1$以上の実数とする．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は，不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ．
(2)$a$を$3$以上の整数とする．$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ．
(1)$a$を正の実数とし，$k$を$1$以上の実数とする．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は，不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ．
(2)$a$を$3$以上の整数とする．$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ．
国立 北海道大学 2016年 第4問次の問いに答えよ．
(1)次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ．
\[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad ① \]
(2)方程式$①$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．このとき，
\[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ．
(1)次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ．
\[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad ① \]
(2)方程式$①$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．このとき，
\[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ．
国立 山口大学 2016年 第1問関数$f(x)=|x^3-3x^2-3x+1|$について，次の問いに答えなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい．
(3)$a$を実数の定数とする．$x$についての方程式$f(x)=a$が，ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように，$a$の値の範囲を定めなさい．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めなさい．
(2)$f(x)$の増減，極値を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの変曲点と凹凸は調べなくてよい．
(3)$a$を実数の定数とする．$x$についての方程式$f(x)=a$が，ちょうど$4$個の異なる実数解をもつように，$a$の値の範囲を定めなさい．
国立 金沢大学 2016年 第4問$a,\ b$を実数とする．$f(x)=2 \sqrt{1+x^2}-ax^2$とし，$x$についての方程式$f(x)=b$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
国立 新潟大学 2016年 第1問整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について，次の問いに答えよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
国立 新潟大学 2016年 第1問整式$P(x)=x^4+x^3+x-1$について，次の問いに答えよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
(1)$i$を虚数単位とするとき，$P(i)$，$P(-i)$の値を求めよ．
(2)方程式$P(x)=0$の実数解を求めよ．
(3)$Q(x)$を$3$次以下の整式とする．次の条件
$Q(1)=P(1),\quad Q(-1)=P(-1),$
$Q(2)=P(2),\quad Q(-2)=P(-2)$
をすべて満たす$Q(x)$を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第2問$a,\ b$を実数とする．$3$次関数$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+b$について次の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(1)関数$f(x)$が極値をもつための$a$の条件を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が相異なる$3$つの正の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
(3)方程式$f(x)=0$が$2$つの相異なる正の実数解と$1$つの負の実数解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表し，この条件を満たす点$(a,\ b)$の全体を座標平面上に図示せよ．
国立 滋賀大学 2016年 第1問$k$を定数とする．関数$f(x)=x^2-kx+3k-5$について，次の問いに答えよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(1)方程式$f(x)=0$が，異なる$2$つの実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が，ともに$2$以下となる異なる$2$つの解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$1 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最小値を$m(k)$とする．このとき，$0 \leqq k \leqq 10$における$m(k)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
国立 埼玉大学 2016年 第1問$a$を実数とする．$x$の方程式
\[ \log_2 (x-3)=\log_4 (2x-a) \]
が異なる$2$つの実数解をもつための$a$の条件を求めなさい．
\[ \log_2 (x-3)=\log_4 (2x-a) \]
が異なる$2$つの実数解をもつための$a$の条件を求めなさい．
国立 埼玉大学 2016年 第4問$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．