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京都大学 国立 京都大学 2016年 第5問
実数を係数とする$3$次式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$に対し,次の条件を考える.

\mon[(イ)] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し,$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である.
\mon[(ロ)] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ.

この$2$つの条件(イ),(ロ)を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第3問
座標平面上の$2$つの放物線

$A:y=x^2$
$B:y=-x^2+px+q$

が点$(-1,\ 1)$で接している.ここで,$p$と$q$は実数である.さらに,$t$を正の実数とし,放物線$B$を$x$軸の正の向きに$2t$,$y$軸の正の向きに$t$だけ平行移動して得られる放物線を$C$とする.

(1)$p$と$q$の値を求めよ.
(2)放物線$A$と$C$が囲む領域の面積を$S(t)$とする.ただし,$A$と$C$が領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める.$S(t)$を求めよ.
(3)$t>0$における$S(t)$の最大値を求めよ.
一橋大学 国立 一橋大学 2016年 第2問
$\theta$を実数とし,数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=\cos \theta,\quad a_{n+2}=\frac{3}{2}a_{n+1}-a_n \]
により定める.すべての$n$について$a_n=\cos (n-1) \theta$が成り立つとき,$\cos \theta$を求めよ.
一橋大学 国立 一橋大学 2016年 第4問
$a$を実数とし,$f(x)=x^3-3ax$とする.区間$-1 \leqq x \leqq 1$における$|f(x)|$の最大値を$M$とする.$M$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ.
一橋大学 国立 一橋大学 2016年 第5問
次の$\tocichi$,$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ.

\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である.このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ.
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である.次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである.

\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}


(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について,$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$,$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると,
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ.
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ.
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった.このとき,$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ.
大阪大学 国立 大阪大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$a$を正の実数とし,$k$を$1$以上の実数とする.$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-kax+a-k=0 \]
は,不等式
\[ -\frac{1}{a}<s \leqq 1 \]
をみたすような実数解$s$をもつことを示せ.
(2)$a$を$3$以上の整数とする.$n^2+a$が$an+1$で割り切れるような$2$以上のすべての整数$n$を$a$を用いて表せ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第2問
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ.また,その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ.
神戸大学 国立 神戸大学 2016年 第2問
$a$を正の定数とし,$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく.以下の問に答えよ.

(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ.
(2)$y=f(x)$のグラフが点$(-1,\ 2)$を通るときの$a$の値を求めよ.また,そのときの$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
(3)$a=2$とする.すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第1問
大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする.


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$,$\theta$を用いて表しなさい.

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる.$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第2問
$a$を$0$でない実数とする.$2$つの放物線$y=x^2$,$\displaystyle y=-x^2+2ax+\frac{1}{2a^2}$がある.

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わることを示しなさい.
(2)$2$つの放物線の交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とするとき,$\beta-\alpha$を$a$の式で表しなさい.
(3)$2$つの放物線で囲まれた部分の面積$S$を$a$の式で表しなさい.
(4)$(3)$で定めた面積$S$の最小値を求めなさい.
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