「宝石」について
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私立 大阪歯科大学 2013年 第1問以下の$[ ]$に入る適切な数値を解答欄に記せ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．