「定義」について
タグ「定義」の検索結果
（6ページ目：全248問中51問～60問を表示）
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また$(1)$，$(3)$に答えなさい．
以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．
以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．
(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．
私立 慶應義塾大学 2015年 第1問$n$を自然数とする．表と裏が$\displaystyle\frac{1}{2}$の確率で出現するコインを$n$回繰り返し投げる試行をおこなう．各試行に対して$n$個の数$X_1,\ \cdots,\ X_n$をつぎのように定義する．
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
X_{i-1}+1 & (i \text{回目の結果が表の場合}) \\
X_{i-1}+2 & (i \text{回目の結果が裏の場合})
\end{array} \right. \]
ただし$X_0=0$とする．$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n$のいずれかが値$k (1 \leqq k \leqq 2n)$と等しくなる確率を$P(n,\ k)$と記す．例えば，$n=1$ならば$\displaystyle P(1,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(1,\ 2)=\frac{1}{2}$となる．$n=2$ならば$\displaystyle P(2,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(2,\ 4)=\frac{[$1$]}{[$2$]}$となる．
$3 \leqq k \leqq n$とする．$X_i=k$となるのは，$X_{i-1}=k-1$で$i$回目の結果が表となるか，あるいは$X_{i-1}=k-2$で$i$回目の結果が裏となるかのいずれかの場合である．したがって
\[ P(n,\ k)=\frac{[$3$]}{[$4$]}P(n,\ k-1)+\frac{[$5$]}{[$6$]}P(n,\ k-2) \quad (3 \leqq k \leqq n) \]
が成り立つ．
いまコインを$10$回投げる試行を考える．このとき
\[ P(10,\ 2)=\frac{[$7$]}{[$8$]},\quad P(10,\ 5)=\frac{[$9$][$10$]}{[$11$][$12$]} \]
である．
\[ X_i=\left\{ \begin{array}{ll}
X_{i-1}+1 & (i \text{回目の結果が表の場合}) \\
X_{i-1}+2 & (i \text{回目の結果が裏の場合})
\end{array} \right. \]
ただし$X_0=0$とする．$X_1,\ X_2,\ \cdots,\ X_n$のいずれかが値$k (1 \leqq k \leqq 2n)$と等しくなる確率を$P(n,\ k)$と記す．例えば，$n=1$ならば$\displaystyle P(1,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(1,\ 2)=\frac{1}{2}$となる．$n=2$ならば$\displaystyle P(2,\ 1)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P(2,\ 4)=\frac{[$1$]}{[$2$]}$となる．
$3 \leqq k \leqq n$とする．$X_i=k$となるのは，$X_{i-1}=k-1$で$i$回目の結果が表となるか，あるいは$X_{i-1}=k-2$で$i$回目の結果が裏となるかのいずれかの場合である．したがって
\[ P(n,\ k)=\frac{[$3$]}{[$4$]}P(n,\ k-1)+\frac{[$5$]}{[$6$]}P(n,\ k-2) \quad (3 \leqq k \leqq n) \]
が成り立つ．
いまコインを$10$回投げる試行を考える．このとき
\[ P(10,\ 2)=\frac{[$7$]}{[$8$]},\quad P(10,\ 5)=\frac{[$9$][$10$]}{[$11$][$12$]} \]
である．
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問数列$a_n (1 \leqq n)$に対して新しい数列$b_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．まず$b_1=1$とする．つぎに$n>1$に対して
\[ a_{n-h}+b_h \quad (1 \leqq h \leqq \frac{n}{2}) \]
のなかで最小のものを$b_n$とする．さらに新しい数列$c_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．
\[ c_n=b_{n+1}-b_n \quad (1 \leqq n) \]
さて$a_n=n^2$のときを考えよう．このとき$b_n$はつぎのようになる．
$1,\ 2,\ 5,\ [$101$][$102$],\ 11, 14,\ 21,\ 22,\ [$103$][$104$],\ 36,\ 47,\ 50,$
$63,\ 70,\ 85,\ 86,\ 103,\ 112,\ 131,\ [$105$][$106$][$107$],\ \cdots$
$c_n=5$をみたす$n$は小さい順に
\[ n=[$108$][$109$],\ [$110$][$111$],\ [$112$][$113$],\ 39,\ \cdots \]
である．
\[ a_{n-h}+b_h \quad (1 \leqq h \leqq \frac{n}{2}) \]
のなかで最小のものを$b_n$とする．さらに新しい数列$c_n (1 \leqq n)$をつぎのように定義する．
\[ c_n=b_{n+1}-b_n \quad (1 \leqq n) \]
さて$a_n=n^2$のときを考えよう．このとき$b_n$はつぎのようになる．
$1,\ 2,\ 5,\ [$101$][$102$],\ 11, 14,\ 21,\ 22,\ [$103$][$104$],\ 36,\ 47,\ 50,$
$63,\ 70,\ 85,\ 86,\ 103,\ 112,\ 131,\ [$105$][$106$][$107$],\ \cdots$
$c_n=5$をみたす$n$は小さい順に
\[ n=[$108$][$109$],\ [$110$][$111$],\ [$112$][$113$],\ 39,\ \cdots \]
である．
私立 上智大学 2015年 第3問実数からなる集合$A,\ B,\ C$を以下のように定義する．
$\displaystyle A=\left\{ x \ \biggl| \ \sin \frac{\pi}{2}x>-\frac{1}{7}x \right\}$
$B=\{x \ | \ 0<x<b\}$
$C=\{x \ | \ x \geqq c\}$
ただし，$b,\ c$は正の実数とする．
(1)$-1 [え] A$である．また，$5 [お] A$である．
\begin{screen}
$[え]$，$[お]$の選択肢：
\[ \mathrm{(a)} \ \in \quad \mathrm{(b)} \ \notin \quad \mathrm{(c)} \ \ni \quad \mathrm{(d)} \ \notni \quad \mathrm{(e)} \ = \quad \mathrm{(f)} \ \subset \quad \mathrm{(g)} \ \supset \]
\end{screen}
(2)$B \cap C$が空集合であるための必要十分条件は$[か]$である．
\begin{screen}
$[か]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ b=c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(b)} \ b<c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(c)} \ b \leqq c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(d)} \ b>c$ \phantom{AA} \\
$\mathrm{(e)} \ b \geqq c$ & $\mathrm{(f)} \ b \leqq 1$ & $\mathrm{(g)} \ b \leqq 1 \text{かつ} c \geqq 1$ &
\end{tabular}
\end{screen}
(3)$A \supset B$となる$b$のうち，整数で最大のものは$[タ]$である．また，$A \supset C$となる$c$のうち，整数で最小のものは$[チ]$である．
(4)$S$は実数からなる集合とする．「集合$S$が連結である」とは，「$S$のどの$2$つの要素$x,\ y$に対しても，
条件：実数$z$が$x<z<y$を満たすならば$z \in S$
が成り立つ」ことである．
$A \cap B$が連結であるような$b$のうち，整数で最大のものは$[ツ]$である．また，$A \cap C$が連結であるような$c$のうち，整数で最小のものは$[テ]$である．
$\displaystyle A=\left\{ x \ \biggl| \ \sin \frac{\pi}{2}x>-\frac{1}{7}x \right\}$
$B=\{x \ | \ 0<x<b\}$
$C=\{x \ | \ x \geqq c\}$
ただし，$b,\ c$は正の実数とする．
(1)$-1 [え] A$である．また，$5 [お] A$である．
\begin{screen}
$[え]$，$[お]$の選択肢：
\[ \mathrm{(a)} \ \in \quad \mathrm{(b)} \ \notin \quad \mathrm{(c)} \ \ni \quad \mathrm{(d)} \ \notni \quad \mathrm{(e)} \ = \quad \mathrm{(f)} \ \subset \quad \mathrm{(g)} \ \supset \]
\end{screen}
(2)$B \cap C$が空集合であるための必要十分条件は$[か]$である．
\begin{screen}
$[か]$の選択肢：
\begin{tabular}{llll}
$\mathrm{(a)} \ b=c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(b)} \ b<c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(c)} \ b \leqq c$ \phantom{AA} & $\mathrm{(d)} \ b>c$ \phantom{AA} \\
$\mathrm{(e)} \ b \geqq c$ & $\mathrm{(f)} \ b \leqq 1$ & $\mathrm{(g)} \ b \leqq 1 \text{かつ} c \geqq 1$ &
\end{tabular}
\end{screen}
(3)$A \supset B$となる$b$のうち，整数で最大のものは$[タ]$である．また，$A \supset C$となる$c$のうち，整数で最小のものは$[チ]$である．
(4)$S$は実数からなる集合とする．「集合$S$が連結である」とは，「$S$のどの$2$つの要素$x,\ y$に対しても，
条件：実数$z$が$x<z<y$を満たすならば$z \in S$
が成り立つ」ことである．
$A \cap B$が連結であるような$b$のうち，整数で最大のものは$[ツ]$である．また，$A \cap C$が連結であるような$c$のうち，整数で最小のものは$[テ]$である．
私立 東洋大学 2015年 第4問一般項が$\displaystyle a_n=\sin \frac{3n \pi}{7}$で定義される数列$\{a_n\}$の最初の$n$項の和を$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．次の各問に答えよ．
(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．
(1)$a_n>0$となるための必要十分条件は，$n$を$[アイ]$で割った余りが$1$，$2$，$[ウ]$，$[エ]$，$[オカ]$，$[キク]$のいずれかとなることである．ただし，$[ウ]<[エ]<[オカ]<[キク]$とする．
(2)任意の自然数$n$に対し，$a_{n+\mkakko{ケ}}=-a_n$が成り立つ．
(3)$a_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[コサ]$で割った余りが$[シ]$または$[ス]$となることである．ただし，$[シ]<[ス]$とする．
(4)$S_n$が最大となるための必要十分条件は，$n$を$[セソ]$で割った余りが$[タ]$または$[チツ]$となることである．
私立 獨協医科大学 2015年 第5問$x>-1$で定義された関数$f(x)$は，等式
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．
\[ (x+1)f(x)-\int_0^x f(t) \, dt=\log (x+1)+x-1 \]
を満たしている．
(1)このとき$f(0)=[アイ]$であり，さらに
\[ f^\prime(x)=\frac{x+[ウ]}{(x+[エ])^{\mkakko{オ}}} \]
である．
(2)これをもとに$f(x)$を求めると$f(x)=[カ]-[キ]$である．ただし，$[カ]$，$[キ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \log x \quad \nagamaruni \log (x+1) \quad \nagamarusan x \log (x+1) \quad \nagamarushi \frac{1}{x} \quad \nagamarugo \frac{1}{x+1} \quad \nagamaruroku \frac{x}{x+1} \]
(3)$a>0$とする．関数$g(x)=\log x$について，区間$[a,\ a+1]$で平均値の定理を用いると，$g(a+1)-g(a)=[ク]$となる実数の定数$c$が区間$[ケ]$に存在する．これを用いると自然数$m$に対する$f(e^m)$と$m$の大小は$f(e^m) [コ] m$となることがわかる．ただし，$[ク]$，$[ケ]$には，次の選択肢$\mathrm{I}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarushichi$の中から，$[コ]$には，選択肢$\mathrm{II}$の$\nagamaruichi$～$\nagamarusan$の中から最も適切なものをそれぞれ一つずつ選ぶこと．
選択肢$\mathrm{I}$
$\displaystyle \nagamaruichi c \qquad \nagamaruni c+1 \qquad \nagamarusan \frac{1}{c} \qquad \nagamarushi \frac{1}{c+1} \qquad \nagamarugo \log c$
$\nagamaruroku [a,\ a+1] \qquad \nagamarushichi (a,\ a+1)$
選択肢$\mathrm{II}$
$\displaystyle \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni > \qquad \nagamarusan =$
(4)さらに
\[ \int_0^{e^x-1} f(t) \, dt=(x-[サ])(e^x-[シ]) \]
となるので，自然数$n$に対して$\displaystyle p(n)=e^{\frac{2}{3n}}-1$とおくと
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_0^{p(n)} f(t) \, dt=\frac{[スセ]}{[ソ]} \]
である．
私立 東京都市大学 2015年 第3問$p$を定数とする．数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が
\[ a_1=b_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=p,\quad b_{n+1}-b_n=a_n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
により定義されている．次の問に答えよ．
(1)$a_n$を$n$と$p$の式で表せ．
(2)$b_n$を$n$と$p$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=3}^{11} \frac{1}{b_n}=1$となるような$p$の値を求めよ．
\[ a_1=b_1=0,\quad a_{n+1}-a_n=p,\quad b_{n+1}-b_n=a_n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
により定義されている．次の問に答えよ．
(1)$a_n$を$n$と$p$の式で表せ．
(2)$b_n$を$n$と$p$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \sum_{n=3}^{11} \frac{1}{b_n}=1$となるような$p$の値を求めよ．
私立 西南学院大学 2015年 第5問集合$X_k$は次のように定義される．
\[ X_k=\left\{ \frac{1}{x} \;\bigg|\; x \text{は}k \text{桁の自然数で，$x$の全ての位に$1$を含まない．} \right\} \]
また，$n(X_k)$は$X_k$の要素の個数，$s(X_k)$は$X_k$の全ての要素の和とする．たとえば，$n(X_1)=8$，$\displaystyle s(X_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{9}$である．以下の問に答えよ．
(1)$n(X_3)$を求めよ．
(2)$s(X_1)<4$を証明せよ．
(3)$\displaystyle s(X_2)<\frac{18}{5}$を証明せよ．
(4)$\displaystyle s(X_1)+s(X_2)+s(X_3)<\frac{271}{25}$を証明せよ．
\[ X_k=\left\{ \frac{1}{x} \;\bigg|\; x \text{は}k \text{桁の自然数で，$x$の全ての位に$1$を含まない．} \right\} \]
また，$n(X_k)$は$X_k$の要素の個数，$s(X_k)$は$X_k$の全ての要素の和とする．たとえば，$n(X_1)=8$，$\displaystyle s(X_1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{9}$である．以下の問に答えよ．
(1)$n(X_3)$を求めよ．
(2)$s(X_1)<4$を証明せよ．
(3)$\displaystyle s(X_2)<\frac{18}{5}$を証明せよ．
(4)$\displaystyle s(X_1)+s(X_2)+s(X_3)<\frac{271}{25}$を証明せよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問次の問いに答えよ．
(1)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2=\kakkofour{$101$}{$102$}{$103$}{$104$} \]
(2)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{20} (-1)^{k-1}k^2=\kakkofour{$105$}{$106$}{$107$}{$108$} \]
(3)$1$から$20$までの数を$2$つの数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$と$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{10}$に分ける．
\[ S=\sum_{k=1}^{10} a_kb_k \]
と定義し，分け方を種々考え，$S$の最小値と最大値を求めると，それぞれ
\[ [$109$][$110$][$111$],\quad \kakkofour{$112$}{$113$}{$114$}{$115$} \]
となる．（ヒント：増加数列や減少数列を考える．）
(1)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2=\kakkofour{$101$}{$102$}{$103$}{$104$} \]
(2)計算せよ．
\[ \sum_{k=1}^{20} (-1)^{k-1}k^2=\kakkofour{$105$}{$106$}{$107$}{$108$} \]
(3)$1$から$20$までの数を$2$つの数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$と$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{10}$に分ける．
\[ S=\sum_{k=1}^{10} a_kb_k \]
と定義し，分け方を種々考え，$S$の最小値と最大値を求めると，それぞれ
\[ [$109$][$110$][$111$],\quad \kakkofour{$112$}{$113$}{$114$}{$115$} \]
となる．（ヒント：増加数列や減少数列を考える．）
私立 昭和大学 2015年 第3問次の各問に答えよ．
(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．
(1)空間に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ -1,\ 4)$がある．次の問に答えよ．
$(1$-$1)$ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を求めよ．
$(1$-$2)$ $\cos \angle \mathrm{AOB}$の値を求めよ．
$(1$-$3)$ $\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(2)$\displaystyle \left( 2x^3-\frac{1}{3x} \right)^9$の展開式における$\displaystyle \frac{1}{x}$の係数を求めよ．
(3)実数全体で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^4+5x^2+11}{x^2+2}$の最小値を求めよ．
(4)曲線$y=\sqrt{2+|4x-2x^2|}$と直線$y=m(x+3)$が相異なる$4$個の交点をもつような定数$m$の値の範囲を求めよ．