「定義」について
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公立 首都大学東京 2016年 第2問$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$の範囲で定義された関数$f(x)$は次の等式をみたすとする．
\[ f(x)=2x-\tan x+\int_0^{\frac{\pi}{6}} f(t) \cos t \, dt \]
以下の問いに答えなさい．
(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めなさい．
(2)$f(0)$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値を求めなさい．
\[ f(x)=2x-\tan x+\int_0^{\frac{\pi}{6}} f(t) \cos t \, dt \]
以下の問いに答えなさい．
(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めなさい．
(2)$f(0)$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値を求めなさい．
公立 兵庫県立大学 2016年 第1問$a>0$とする．$x>0$で定義された関数$y=x^2+ax-3a^2 \log x$のグラフが$x$軸と共有点をもつような$a$の範囲を求めよ．
公立 滋賀県立大学 2016年 第1問実数$a,\ b,\ c$は，$a<b<c$，$a+b+c=0$を満たしている．このとき，放物線$C:y=ax^2+bx+c$を考える．
(1)$C$は$x$軸と異なる$2$点で交わることを示せ．
(2)$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$L$とする．このとき，$L^2$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$で定義した$L$の値の範囲を求めよ．
(1)$C$は$x$軸と異なる$2$点で交わることを示せ．
(2)$C$が$x$軸から切り取る線分の長さを$L$とする．このとき，$L^2$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(2)$で定義した$L$の値の範囲を求めよ．
公立 県立広島大学 2016年 第4問$t$を正の実数とする．関数$f(t)$を
\[ f(t)=\int_0^2 |x^3-tx^2+2tx-2t^2| \, dx \]
で定義する．次の問いに答えよ．
(1)$x^3-tx^2+2tx-2t^2$を因数分解せよ．
(2)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$f(t)$の最小値を求めよ．
\[ f(t)=\int_0^2 |x^3-tx^2+2tx-2t^2| \, dx \]
で定義する．次の問いに答えよ．
(1)$x^3-tx^2+2tx-2t^2$を因数分解せよ．
(2)$f(t)$を$t$を用いて表せ．
(3)$f(t)$の最小値を求めよ．
国立 埼玉大学 2015年 第1問$a$をある実数とする．$f(x)$は$x$の$2$次関数であり，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_a^x f(t) \, dt \]
で定義する．関数$f(x)$，$F(x)$が条件
\[ f(a)=0,\quad F(2a)=-a^3,\quad F(3a)=-8a^3 \]
をみたすとき，$f(x)$および$F(x)$を求めよ．
\[ F(x)=\int_a^x f(t) \, dt \]
で定義する．関数$f(x)$，$F(x)$が条件
\[ f(a)=0,\quad F(2a)=-a^3,\quad F(3a)=-8a^3 \]
をみたすとき，$f(x)$および$F(x)$を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 長崎大学 2015年 第4問自然対数の底を$e$とする．区間$x \geqq 0$上で定義される関数
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
\[ f(x)=e^{-x} \sin x \]
を考え，曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点を，$x$座標の小さい順に並べる．それらを，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\cdots$とする．点$\mathrm{P}_0$は原点である．
自然数$n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，線分$\mathrm{P}_{n-1} \mathrm{P}_n$と$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を求めよ．
(2)面積$S_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle I_n=\sum_{k=1}^n S_k$とする．このとき，$I_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．