$f(x)$は実数全体で定義された関数とする．実数$a$に関する条件$(\mathrm{P})$を考える．

$(\mathrm{P})$ 正の実数$r$を十分小さく選べば，$|x-a|<r$をみたすすべての実数$x$に対して$f(x) \leqq f(a)$が成り立つ．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたし，かつ，$f(x)$が$x=a$で微分可能ならば，$f^\prime(a)=0$であることを証明せよ．
(2)関数$f(x)$が
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
|x|-x & (x<1 \text{のとき}) \\
|x^2-6x+8| & (x \geqq 1 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されているとき，条件$(\mathrm{P})$をみたすような実数$a$全体の集合を決定せよ．
(3)一般に，実数全体で定義された関数$f(x)$に対し，次の命題は正しいか．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げよ．

（命題） すべての実数$a$が条件$(\mathrm{P})$をみたすならば，$f(x)$は定数関数である．

関数$f(x)$を$f(x)=\log (x+1)+\sin ax$と定義する．ただし，$x \geqq 0$であり，$a$は正の定数である．

(1)$f(e-1)=0$を満たす最も小さい$a$の値を求めよ．
(2)(1)で求めた$a$の値を使って，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2(e-1)}{3}}f(x) \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{2\pi}{e-1}$とするとき，方程式$f(x)=0$は$\displaystyle 0<x<\frac{3(e-1)}{4}$の範囲に解を持つことを証明せよ．

次の問いに答えよ．

(1)$x>0$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$A$を正定数，角$\theta$を$0^\circ<\theta<45^\circ$とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1 = \frac{A\sin \theta}{1+\sin \theta} \]
\[ a_n = \frac{\{A-2(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})\}\sin \theta}{1+\sin \theta} \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義する。
このとき，次の各間に答えよ．

(1)$\displaystyle\frac{a_2}{a_1}$を，$A$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$a_n (n \geqq 3)$を，$a_{n-1}$および$A,\ \theta$を用いて表せ．
(3)初項から第$n$項までの和$S_n = a_1+\cdots+a_n$を，$A,\ \theta$および$n$を用いて表せ．

$\displaystyle a_1=3,\ a_2=4,\ a_{n+2}=\frac{4}{3}a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_{n+1}-a_n=c(a_n-a_{n-1})$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n=d \left( a_n-\frac{1}{3}a_{n-1} \right)$を満たす定数$c$と$d$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}-a_n$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$と数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

$\displaystyle a_1=3,\ a_2=4,\ a_{n+2}=\frac{4}{3}a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n (n=1,\ 2,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$がある．

(1)$n \geqq 2$のとき，$a_{n+1}-a_n=c(a_n-a_{n-1})$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n=d \left( a_n-\frac{1}{3}a_{n-1} \right)$を満たす定数$c$と$d$の値を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}-a_n$と$\displaystyle a_{n+1}-\frac{1}{3}a_n$を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$と数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

初項$a_1=2$および漸化式
\[ a_{n+1}=ra_n+(1-r)n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義される数列$\{a_n\}$がある．ただし，$r \neq 0$とする．

(1)$b_n=a_{n+1}-a_n-1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$を用いた式で表せ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．
(3)$c_n=a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．数列$\{c_n\}$が等差数列となるような$r$の値を求めよ．

$x>0$の範囲で定義された関数$f(x)=x \log x$，$g(x)=x^x$について，以下の問いに答えよ．ただし，対数は$e$を底とする自然対数である．

(1)$f(x)$の導関数を求めよ．
(2)$g(x)$の導関数を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{3} \leqq x \leqq \frac{1}{2}$の範囲における$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=3x^2-2ax+b \]
とする．ただし，$a,\ b$は実数である．また，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定義する．以下の問いに答えなさい．

(1)$F(x)$を求めなさい．
(2)放物線$y=f(x)$の頂点の$y$座標は$-3$であり，$y=f(x)$のグラフと$y=F(x)$のグラフとは$x$軸上で原点以外の共有点をもつ．このとき，$a,\ b$を求めなさい．
(3)(2)で求めた$a,\ b$に対し，$y=F(x)$の極大値と極小値を求め，$y=F(x)$のグラフを描きなさい．

$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は，
\[ a_{n+1}=-a_n-15b_n,\quad b_{n+1}=a_n+7b_n,\quad a_1=-1,\quad b_1=1 \]
で定義される．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a_3=-[ヒフ]$，$b_3=[ヘホ]$である．
(2)$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)$を満たす定数$\alpha,\ \beta$を求めると，
\[ (\alpha,\ \beta)=([マ],\ [ミ]),\ ([ム],\ [メ]) \]
となる．ただし，$[マ]<[ム]$である．

(3)一般項を求めると，
\[ a_n=\frac{[モ] \cdot [ヤ]^n-[ユ] \cdot [ヨ]^n}{2},\quad b_n=\frac{[ラ]^n-[リ]^n}{2} \]
となる．