次の問いに答えよ．

(1)$\sqrt{n^2+27}$が整数であるような自然数$n$をすべて求めよ．
(2)$a$を実数とする．$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が，すべての$x>0$に対して
\[ \int_1^x f(t) \, dt =(\log x)^2+a^3x-2a-4 \]
を満たすとき，$a$の値と$f(x)$を求めよ．

平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$と実数$p \ (0<p<1)$に対して，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\cdots$の位置ベクトルを
\begin{eqnarray}
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_1}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_2}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OP_3}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_4}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OP_5}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+p^2\overrightarrow{\mathrm{BO}}+p^3\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p^4\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \cdots \nonumber
\end{eqnarray}
によって定義する．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}$を$n,\ p,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\overrightarrow{\mathrm{OP_{3n}}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とする．直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{AB}$をどのような比に分けるか答えよ．
(3)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{OQ}$をどのような比に分けるか答えよ．

初項を$a_1=16$とする数列$\{a_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^2-6n+20$で与えられるとき，次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$に対して，$a_n$を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$を$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$b_4=a_7+a_8+a_9+a_{10}$，$\cdots$と定義する．このとき，$b_n=a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots +a_{k+n}$をみたす$k$を$n$を用いて表せ．
(3)数列$\{b_n\}$の第$1$項から第$n$項までの和を$T_n$とするとき，極限値$\displaystyle A=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n}{n^4}$と極限値$\displaystyle B=\lim_{n \to \infty}\frac{T_n-An^4}{n^3}$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle C=\sum_{n=1}^{24}(T_n-An^4-Bn^3)$の値を求めよ．ただし，$A$と$B$は(3)で求めた極限値である．

以下の問いに答えよ．

(1)関数
\[ f(x)=x \sin^2 x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最大値を与える$x$を$\alpha$とするとき，$f(\alpha)$を$\alpha$の分数式で表すと$[$1$]$となる．
(2)多項式
\[ a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 \]
を因数分解すると$[$2$]$となる．
(3)$N$を与えられた自然数とし，$f(x)$および$g(x)$を区間$(-\infty,\ \infty)$で$N$回以上微分可能な関数とする．$f(x)$と$g(x)$から定まる関数を次のように定義する．$t$を与えられた実数として，
\[ \begin{array}{lll}
(f *_t g)(x) &=& \sum_{k=0}^N \displaystyle\frac{t^k}{2^k k!} f^{(k)}(x)g^{(k)}(x) \\
&=& \displaystyle f(x)g(x)+\frac{t}{2}f^\prime(x)g^\prime(x)+\cdots +\frac{t^N}{2^N N!} f^{(N)}(x)g^{(N)}(x)
\end{array} \]
とおく．ここに，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$の第$k$次導関数である（$g^{(k)}(x)$も同様である）．$a$を実数，$n$を$N$以下の自然数とする．$f(x)=e^{2ax}$，$g(x)=x^n$にたいし，二項定理を用いて$(f *_t g)(x)$を計算すると$[$3$]$となる．
(4)関係式
\[ f(x)+\int_0^x f(t)e^{x-t} \, dt=\sin x \]
をみたす微分可能な関数$f(x)$を考える．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めると，$f^\prime(x)=[$4$]$となる．$f(0)=[$5$]$であるから$f(x)=[$6$]$となる．

$0$以上の任意の整数$i$に対して，$x$の$i$次式$g_i(x)$を$i=0$のとき$g_0(x)=1$，$i \geqq 1$のとき$\displaystyle g_i(x)=\frac{x(x+1) \cdots (x+i-1)}{i!}$と定義する．

(1)$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$（但し$a_n \neq 0$）を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とする．このとき，等式$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^n c_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような実数$c_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$c_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．
(2)$(1)$において，$n>0$のとき等式$\displaystyle f(x)-f(x-1)=\sum_{i=1}^n c_i \, g_{i-1}(x)$が成り立つことを証明せよ．
(3)$F(x) (\neq 0)$を$x$に関する実数係数の$n (\geqq 0)$次式とし，任意の整数$a$に対して$F(a)$が整数であると仮定する．このとき，等式$\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^n d_i \, g_i(x)$が任意の実数$x$について成り立つような整数$d_i$（$0 \leqq i \leqq n$，但し$d_n \neq 0$）が一意的に存在することを証明せよ．

$f(x) = 1- \cos x-x \sin x$とする．

(1)$0<x< \pi$において，$f(x) = 0$は唯一の解を持つことを示せ．
(2)$\displaystyle J =\int_0^{\pi} | f(x) | \, dx$とする．(1)の唯一の解を$\alpha$とするとき，$J$を$\sin \alpha$の式で表せ．
(3)(2)で定義された$J$と$\sqrt{2}$の大小を比較せよ．

関数$f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
\sin \pi x \phantom{0} \ (0 \leqq x \leqq 1) \\
0 \phantom{\sin \pi x} \ (x<0,\ x>1)
\end{array}
\right.$を用いて，すべての実数$t$に対して，関数$\displaystyle g(t)=\int_0^1 f \left( \frac{t}{3} -x \right)\, dx$を定義する．このとき，$g(t)$と定積分$\displaystyle \int_{-1}^1 g(t) \, dt$を求めよ．

$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．

$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．

$0 \leqq t \leqq 1$をみたす$t$に対し，$\sin x=t$となる$x$が$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲にただ1つ存在する．その$x$を$f(t)$と表すことにする．さらに，$t$の関数$g(t)$を
\[ g(t) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx - 2tf(t)+\frac{3}{2}\pi t \]
で定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x-t| \, dx$を，$t$と$f(t)$を用いて表せ．
(2)$g(t)$を，$f(t)$を含まない式で表せ．
(3)$g(t)$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を求めよ．