$c$を実数とし，$a_1=c,\ a_2=c^2-2$および
\[ a_{n+2}=a_1a_{n+1}-a_n \quad (n \geqq 1) \]
で数列$\{a_n\}$を定義する．

(1)$n \geqq 1$のとき$a_{n+4}=a_2a_{n+2}-a_n$となることを示せ．
(2)$c=\sqrt{2}$のとき$a_{100}$を求めよ．

関数
\[ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
t \qquad\qquad (0 \leqq t \leqq \pi) \\
2\pi-t \quad \, (\pi<t \leqq 2\pi)
\end{array}
\right. \]
に対して，次のように2つの関数$g(x),\ h(x)$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義する．
\[ g(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \cos (t+x) \, dt,\quad h(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \sin (t+x) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．

初項が$a$で公比が$r$の等比数列を$\{a_n\}$とし，初項が$b$で公比が$s$の等比数列を$\{b_n\}$とする．数列$\{x_n\}$を
\[ x_n=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．
(2)$x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し，因数分解せよ．

以下では，$r<s$とし，数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が
\[ x_1=4, x_2=7, x_3=11, x_4=13 \]
となる場合を考える．

\mon[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め，数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ．
\mon[(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
\mon[(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．

(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．

(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．

(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．

(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]

(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．

関数$f(x)$は
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
x^3-3x^2+2x \quad\; (x \leqq 2 \text{のとき}) \\
x-2 \qquad\qquad\quad (x>2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
で定義されている．次の各問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．
(2)$a \leqq x \leqq a+2$での$f(x)$の最大値が$f(a+2)$と等しくなるような実数$a$の範囲を求めよ．

袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

袋の中に5個の玉が入っている．それらは，0と書かれた玉が2個，1と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，2と書かれた玉がそれぞれ1個ずつである．この袋の中から3個の玉を取り出す．取り出した3個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った2個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，2次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．

$0 \leqq x \leqq 1$とする．このとき，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^1 |t^2-xt| \, dt \]
と定義する．次の各問いに答えよ．

(1)$t$の関数$g(t)=|t^2-xt|$のグラフの概形をかけ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．