次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)大中小$3$個のサイコロを同時に投げる．大中小それぞれのサイコロの目を$x,\ y,\ z$とするとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$となる確率を求めよ．
(2)正の実数$x$に対して定義された関数$y=2(\log_5 5x)^2+\log_5 (5x)^2+2 \log_5 x+2$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)大中小$3$個のサイコロを同時に投げる．大中小それぞれのサイコロの目を$x,\ y,\ z$とするとき，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$となる確率を求めよ．
(2)正の実数$x$に対して定義された関数$y=2(\log_5 5x)^2+\log_5 (5x)^2+2 \log_5 x+2$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

以下の$[　]$にあてはまる式または数値を入れよ．

(1)多項式$2x^3-3x^2+2x-8$を$2x^2-1$で割った余りは$[　]$である．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt{2x-1}<\frac{1}{2}(x+1)$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(3)$\displaystyle a_1=1,\ \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}+1 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$の一般項は$[　]$である．
(4)不等式$\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{2x}>\frac{1}{2} \left( \frac{1}{16} \right)^{x}$を満たす$x$の値の範囲は$[　]$である．

(5)$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
a & 3 \\
-2 & b
\end{array} \right)=O$が成り立つとき，$a,\ b$の値は$(a,\ b)=[　]$である．ただし，$O$は$2$次の零行列である．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=1,\quad a_n=-a_{n-1}+(-1)^n 3n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
で定義されている．

(1)$a_2=[ア]$，$a_3=-[イ][ウ]$である．
(2)$b_n=(-1)^na_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，
\[ b_n=b_{n-1}+[エ]n \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$\displaystyle a_n=(-1)^nb_n=\frac{(-1)^n}{[オ]}([カ]n^2+[キ]n-[ク]) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．

次の問に答えよ．

(1)$3$個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ．

(i) すべて異なる目が出る確率
(ii) 出た目の最小値が$3$以上になる確率
(iii) 出た目の最小値が$3$である確率

(2)次の問に答えよ．

(i) $(x+y)^4$を展開せよ．
(ii) 導関数の定義にしたがって，関数$f(x)=x^4$の導関数を求めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ニ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)複素数$z=1-\sqrt{3}i$のとき，
\[ \frac{1}{z}=\frac{[ア]+\sqrt{[イ]}i}{[ウ]} \]
また，
\[ z^3=[エ]+[オ]i \]
である．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 3$において定義された関数$\displaystyle f(x)=|x-1|+\frac{1}{2} |x-2|$の最小値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$，最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(3)$\log_{|a-b|}27=3$，および，$2^{2b-a}=8$とする．このとき，$a=[コ]$，$b=[サ]$，または，$a=[シ]$，$b=[ス]$である．
(4)$\sqrt{3} \sin \theta+\cos \theta=-\sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \theta=\frac{[セ]}{[ソ][タ]} \pi$であり，$\displaystyle (\sin \theta+\cos \theta)^2=\frac{[チ]}{[ツ]}$である．ただし，$\displaystyle -\frac{1}{2}\pi \leqq \theta \leqq \frac{1}{2} \pi$とする．
(5)$7$つの文字$\mathrm{INSTANT}$を一列に並べるとき，相異なる並べ方は$\kakkofour{テ}{ト}{ナ}{ニ}$通りである．

$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$において定義された$2$つの曲線
\[ y=a \sin 2x,\quad y=\sin 4x \]
について次の問いに答えなさい．ただし，$a$は定数である．

(1)$2$つの曲線が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$で交点を持つように$a$の値の範囲を定めなさい．
(2)$a$が$(1)$で定められた範囲にあるとき，$2$つの曲線によって囲まれた図形は$(1)$の交点を境にして$2$つの部分に分けられる．それらのうち原点を含む部分の面積を$S_1$，原点を含まない部分の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=4:1$となるように$a$の値を定めなさい．

定数$a_1<a_2<a_3< \cdots$に対して，連続関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が$f_1(x)=|x-a_1|$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+|x-a_{n+1|}$によって定義されている．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$f_2(x)$の最小値を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3$のとき，$f_3(x)$の最小値を求めよ．
(3)$n$が$2$以上の自然数であるとき，$f_n(x)$の最小値を求めよ．