関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^3+ax^2+bx+c$で定義される曲線$y=f(x)$は，$3$点$(0,\ 0)$，$(2,\ 0)$，$(-2,\ 0)$を通る．また，曲線$y=f(x)$を$x$軸方向に$1$だけ移動した曲線を$y=g(x)$とする．ただし，$a,\ b,\ c$は実数とする．次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$の増減表を作り，そのグラフの概形を図示しなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と円$x^2+y^2=4$のすべての交点を求めなさい．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 4 \\
y \geqq f(x) \\
y \geqq g(x)
\end{array} \right. \]
で示される領域を図示し，この領域の面積を求めなさい．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sqrt{2}+\sin x}$について，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(x) \, dx$を求めよ．

数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$の間に次の漸化式が成立する．
\[ x_{n+1}=2x_n,\quad y_{n+1}=3x_n+y_n,\quad z_{n+1}=x_n-2y_n+3z_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)初項$(x_1,\ y_1)=(2,\ 0)$に対して，一般項$x_n$と$y_n$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$が定数$c,\ d,\ r,\ s$に対して，関係$a_{n+1}=ra_n+cs^n+d$で定義されるとき，$f_n=ps^n+q \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が次式を満たすように定数$p$と$q$を定めよ．ただし，$r \neq s$，$r \neq 0,\ 1$，$s \neq 0,\ 1$とする．
\[ a_{n+1}+f_{n+1}=r(a_n+f_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(3)初項$(x_1,\ y_1,\ z_1)=(2,\ 0,\ 0)$に対して，一般項$z_n$を求めよ．

自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，その一般項を$a_n$で表し，初項から第$n$項までの和を$S_a(n)$で表す．また，$\{b_n\}$は一般項が$b_n=2^{a_n}$で定義される数列であり，その初項から第$n$項までの和を$S_b(n)$で表す．次の各問に答えよ．

(1)$a=1,\ d=2$とする．

(i) $n$を用いて$a_n$と$S_a(n)$を表しなさい．
(ii) $\log_{10} \{S_a(1000)\}$の値を求めなさい．
(iii) $10<S_a(n)<50$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．

(2)$b_3=\sqrt[5]{4},\ b_7=\sqrt[5]{64}$とする．

(i) $a$と$d$の値を求めなさい．
(ii) $b_{n+1}$の$b_n$に対する比を求めなさい．
(iii) $n$を用いて$b_n$と$S_b(n)$を表しなさい．
\mon[$\tokeishi$] $b_n=2$のとき，$n$と$S_b(n)$のそれぞれの値を求めなさい．

(3)自然数$m$について，$u=\sin a_{2m-1}+\cos a_{2m-1}$，$v=\sin a_{2m}-\cos a_{2m}$，$y=uv$，$0<a<2\pi$，$d=\pi$とする．

(i) $u$の最大値と，$u$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(ii) $v$の最大値と，$v$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．
(iii) $y$の最大値と，$y$が最大値をとるときの$a$の値を求めなさい．

実数全体で定義された関数$f(x)$，$g(x)$を次のように定める．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\tan t-x)^2 \, dt,\quad g(x)=\int_0^{\frac{\pi}{4}} |\tan t-x| \, dt \]

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan t \, dt$，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 t \, dt$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の垂心を$\mathrm{H}$とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HB}}=\overrightarrow{\mathrm{HB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HC}}=\overrightarrow{\mathrm{HC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HA}} \]
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした$3$本の垂線は$1$点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．

(i) 自然数$n$に対して自然数$a_n$を次のように定義する．
\[ a_n=(2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 1 \]
このとき，すべての自然数$k$に対して$(2k)!=2^k k! a_k$が成り立つ．このことを証明せよ．
(ii) すべての自然数$n$に対して，$2^n!$は$2^{(2^n-1)}$で割り切れる．このことを数学的帰納法で証明せよ．

$-\infty<x<\infty$で定義される$2$つの関数$f(x)=|\cos x|\sin x$，$g(x)=e^{-x}f(x)$について，以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフを描け．ただし，$x$の範囲は，$0 \leqq x \leqq 4\pi$とせよ．
(2)すべての$x$に対し，$f(x)=f(x+T)$を満たす正の数$T$のうち，最小の値$\omega$を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \, dx$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\int_0^{n \omega}g(x) \, dx$を求めよ．

$X_1=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-2 & 1
\end{array} \right)$，$X_2=\left( \begin{array}{cc}
6 & 5 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，
\[ \begin{array}{r}
X_n=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{9}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-1}-\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)X_{n-2}+\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{3}{2}
\end{array} \right) \\
(n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)
\end{array} \]
で定義される$2$次の正方行列の列がある．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$，$C=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{5}{4} & \displaystyle\frac{3}{2} \\
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 1
\end{array} \right)$とする．$C=P^{-1}(kA+lB)P$を満たす実数$k$と$l$を求めよ．
(2)$C+C^2+\cdots +C^n=\left( \begin{array}{cc}
\alpha_n & \beta_n \\
\gamma_n & \delta_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\alpha_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\beta_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\gamma_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\delta_n$を求めよ．
(3)$X_n=\left( \begin{array}{cc}
a_n & b_n \\
c_n & d_n
\end{array} \right) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$としたとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}c_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}d_n$が存在するかどうかを考察し，存在する場合はその値を求めよ．

正の整数$n$について，$x>0$で定義された関数$f_n(x)$を次で定める．
\[ \begin{array}{l}
f_1(x)=x \log x \\
f_{n+1}(x)=(n+1) \int_1^x f_n(t) \, dt+\displaystyle\frac{1}{n+1}(x^{n+1}-1)
\end{array} \]
以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数とする．

(1)関数$f_2(x)$を求めよ．
(2)関数$f_n(x)$の具体的な形を推測し，それを数学的帰納法で証明せよ．
(3)$g(x)=|f_2(x)|-|x-1|$とおくとき，$g(x)$が$x=1$で微分可能であることを証明せよ．また，微分係数$g^\prime(1)$を求めよ．

$-1<x<1$で定義される関数$f(x)=2x+\sqrt{5-5x^2}$について，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$は上に凸であることを示し，$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$C$上の点のうち，原点$\mathrm{O}$との距離が最大となる点を$\mathrm{A}$，最小となる点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)(2)で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，線分$\mathrm{OA}$，線分$\mathrm{OB}$，および曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．