$x \geqq 0$で定義される関数$f(x)=xe^{\frac{x}{2}}$について次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$f(x)$の第$1$次導関数を$f^\prime(x)$，第$2$次導関数を$f^{\prime\prime}(x)$とする．$f^\prime(2)$，$f^{\prime\prime}(2)$を求めよ．
(2)$f(x)$の逆関数を$g(x)$，$g(x)$の第$1$次導関数を$g^\prime(x)$，第$2$次導関数を$g^{\prime\prime}(x)$とする．$g^\prime(2e)$，$g^{\prime\prime}(2e)$を求めよ．

$\displaystyle S_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}- \cdots +\frac{(-1)^{n-1}}{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．以下の問いに答えよ．

(1)$x \neq -1$のとき，$\displaystyle \frac{1}{x+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-x)^k+\frac{(-x)^n}{x+1}$が成立することを証明せよ．
(2)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$のとき，不等式$\displaystyle -\frac{1}{n+1} \leqq \int_0^1 \frac{(-x)^n}{x+1} \, dx \leqq \frac{1}{n+1}$が成立することを証明せよ．
(3)$\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \int_0^1 (-x)^k \, dx$が成立することを証明せよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．

区間$-1 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数$f(x)$を
\[ 12xf(x)+12 \int_0^x f(t) \, dt=15x^3 |x|-16x^3,\quad f(0)=0 \]
によって定める．曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(3)曲線$C$と直線$\ell:y=a$との区間$-1 \leqq x \leqq 1$における共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(4)曲線$C$と$3$直線$y=-1$，$x=-1$，$x=1$で囲まれる部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

区間$-\infty<x<\infty$で定義された連続関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^{2x}tf(2x-t) \,dt \]
とおく．

(1)$\displaystyle F \left( \frac{x}{2} \right)=\int_0^x (x-s)f(s) \,ds$となることを示せ．
(2)$2$次導関数$F^{\prime\prime}$を$f$で表せ．
(3)$F$が$3$次多項式で$F(1)=f(1)=1$となるとき，$f$と$F$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を区間$0 \leqq x \leqq 1$で定義された連続関数とする．次の等式が成り立つことを示せ．
\[ \int_0^\pi xf(\sin x) \, dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) \, dx \]
(2)$a>1$とする．(1)を用いて，積分
\[ \int_0^\pi \frac{x(a^2-4 \cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \, dx \]
を求めよ．

$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$に対して，$d(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)$を
\[ d(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2)=|x_1-x_2|+|y_1-y_2| \]
で定義する．いま点$\mathrm{A}(3,\ 0)$と点$\mathrm{B}(-3,\ 0)$に対して，
\[ d(\mathrm{Q},\ \mathrm{A})=2d(\mathrm{Q},\ \mathrm{B}) \]
を満たす点$\mathrm{Q}$からなる図形を$T$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$(a,\ b)$が$T$上にあれば，点$(a,\ -b)$も$T$上にあることを示せ．
(2)$T$で囲まれる領域の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{C}$の座標を$(13,\ 8)$とする．点$\mathrm{D}$が$T$上を動くとき，$d(\mathrm{D},\ \mathrm{C})$の最小値を求めよ．

$a$を実数とし，$x>0$で定義された関数$f(x),\ g(x)$を次のように定める．
\[ \begin{array}{l}
f(x)=\displaystyle\frac{\cos x}{x} \\
g(x)=\sin x+ax
\end{array} \]
このとき$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフが$x>0$において共有点をちょうど3つ持つような$a$をすべて求めよ．

数列$\{a_n\}$は，$a_1=1,\ a_n>0 \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$とするとき
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=10^n \]
を満たすものとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_{10}S_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の漸化式を導け．
(2)(1)の漸化式を用いて$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の$n \geqq 2$での一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，$a_1=1,\ a_n>0 \ (n=2,\ 3,\ \cdots)$であり，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$とするとき
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=10^n \]
を満たすものとする．また，数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_{10}S_n$と定義する．このとき，次の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の漸化式を導け．
(2)(1)の漸化式を用いて$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の$n \geqq 2$での一般項を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)不等式$\log_2x>1$を解け．
(2)不等式$\log_{\frac{1}{2}}x>1$を解け．
(3)座標平面上に，
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y) \]
が定義される領域を図示せよ．
(4)座標平面上に，不等式
\[ \log_2 (x+y)+\log_{\frac{1}{2}}(x-y)>1 \]
の表す領域を図示せよ．