以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．

実数$x$に対し
\[ f(x)=e^{3x}+e^{-3x},\qquad g(x)=e^{3x}-e^{-3x} \]
で定義される$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$および$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$で与えられる関数$h(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x),\ g(x)$は
\[ \frac{d}{dx}f(x)=[ア] g(x),\qquad \frac{d}{dx}g(x)=[イ] f(x) \]
という関係を満たす．また，関数$h(x)$に対して
\[ h(0)=[ウ], \lim_{x \to \infty} h(x)=[エ], \lim_{x \to -\infty} h(x)=[オカ], \frac{d}{dx}h(x)=\frac{[キク]}{(f(x))^2} \]
が成り立つ．
(2)$x$座標が$\displaystyle a=\frac{1}{3} \log_e 2$である点$(a,\ h(a))$における，曲線$y=h(x)$の接線を$C$とする．接線$C$と直線$y=[エ]$の交点の$x$座標を$b$とすると，$\displaystyle b-a=\frac{[ケ]}{[コサ]}$となる．

(3)$x \geqq a$の領域において，接線$C$，曲線$y=h(x)$，直線$y=[エ]$および直線$x=t (>b)$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とすると，
\[ \lim_{t \to \infty} S(t)=\frac{[シス]}{[セソ]}+\frac{1}{[タ]} \log_e \frac{[チ]}{[ツ]} \]
が成り立つ．

次の文中の$[ア]$～$[フ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい．

(1)数列$\{a_n\}$は$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n-n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される．ここで，$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，$b_1=[ア]$，$b_2=[イ]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は，
\[ b_n=\frac{[ウ]}{[エ]} \left\{ ([オ])^{n-1}+[カ] \right\} \]
となる．初項$b_1$から第$n$項$b_n$までの和$S_n$は，
\[ S_n=\frac{[キ]}{[ク]} \left\{ ([ケ])^n+[コ]n+[サ] \right\} \]
である．また，数列$\{a_n\}$の一般項は，
\[ a_n=\frac{[シ]}{[ス]} \left\{ ([セ])^{n-1}+[ソ]n+[タ] \right\} \]
と表される．
(2)奇数の列を
\[ 1 \;|\; 3,\ 5,\ 7 \;|\; 9,\ 11,\ 13,\ 15,\ 17 \;|\; 19,\ 21,\ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31 \;|\; \cdots \]
のような群にわける．つまり，第$1$群は$1$のみからなる．このとき，第$n$群に含まれる項の数は$[チ]n+[ツ]$であるので，第$1$群から第$n-1$群までの項の数は，
\[ [テ]n^2+[ト]n+[ナ] \]
である．したがって，第$n$群の最初の項の値は，
\[ [ニ]n^2+[ヌ]n+[ネ] \]
である．また，第$n$群に含まれる数の総和は，
\[ [ノ] n^3+[ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \]
である．

$a>0$とする．関数$f(x)$と$g(x)$を
\[ f(x)=-x^2,\quad g(x)=x^2-2ax \]
とおく．以下の問に答えよ．

(1)$a=1$のとき，$2$つの放物線$y=f(x)$，$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(2)関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x \{f(t)-g(t)\} \, dt \]
で定義する．$F(x)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$の関数$S(a)$を
\[ S(a)=\int_0^1 |f(x)-g(x)| \, dx \]
で定義する．$S(a)$の最小値を求めよ．

定数$c$は$1<c<\sqrt{2}$をみたすとし，$0 \leqq x<1$で定義された$2$つの関数
\[ f(x)=x+\sqrt{1-x^2},\quad g(x)=cf(x)-x \sqrt{1-x^2} \]
を考える．$g(x)$の導関数を$g^\prime(x)$と表す．

(1)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，それらを与える$x$の値も求めよ．
(2)$g^\prime(x)=h(x)(c-f(x))$をみたす関数$h(x)$を求めよ．
(3)$g(x)$の最大値を求めよ．ただし，最大値を与える$x$の値を求める必要はない．

$x \geqq 0$で定義された関数
\[ f_n(x)=x^a-x^{a+\frac{1}{n}} \]
を考える．ただし，$a$は正の実数とし，$n$は自然数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)区間$[0,\ 1]$において，$f_n(x)$の最大値を与える$x$の値を$x_n$とおく．$x_n$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_n$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=|x|$が$x=0$において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)$y=x |x|$のグラフの概形を描け．
(3)$m$は自然数とする．関数$g(x)=x^m |x|$が$x=0$において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．

$0<x \leqq 2\pi$において定義された関数$\displaystyle h(x)=\frac{\sin x}{x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$h(x)$の最小値を与える$x$がただ一つ存在することを示せ．
(2)$h(x)$の最小値を与える$x$の値を$b$とおく．次の定積分を求めよ．
\[ \int_\pi^b x^2h(x) \, dx \]
(3)$b$は$\displaystyle \frac{17}{12} \pi<b<\frac{3}{2} \pi$をみたすことを示せ．

一般項が$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$で定義される数列$\{a_n\}$について，次の問に答えなさい．

(1)すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}<a_n$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_n<\frac{1}{10}$となる$n$の最小値を求めなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)定積分$\displaystyle \int_0^\pi \cos mx \cos nx \, dx$を求めよ．ただし，$m,\ n$は自然数とする．
(2)$a$と$b$を$a<b$を満たす実数とし，$f(x)$と$g(x)$を区間$[a,\ b]$で定義された連続な関数とする．また，
\[ \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \neq 0,\quad \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \neq 0 \]
であるとする．このとき，任意の実数$t$に対して
\[ \int_a^b \{tf(x)+g(x)\}^2 \, dx \geqq 0 \]
が成り立つことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) \, dx \right\}^2 \leqq \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 \, dx \right) \]
また，等号が成り立つ条件は，$k$を定数として$g(x)=kf(x)$と表せるときであることを示せ．
(3)$f(x)$は区間$[-\pi,\ \pi]$で定義された連続な関数で$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=1$を満たす．このとき，
\[ I=\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos 2x \, dx \]
を最大とする$f(x)$とそのときの$I$の値を求めよ．