$2$次関数$y=ax^2+12x+2$について考える（ただし，$a$は$0$でない整数）．

(1)この$2$次関数のグラフの軸が直線$x=3$であるならば$a=-[][]$であり，そのときの頂点の$y$座標は$[][]$である．
(2)この$2$次関数のグラフが$x$軸と共有点を持たないならば，$a$のとりうる最小値は$a=[][]$である．
(3)$a=-6$ならば，この$2$次関数の定義域が$-1 \leqq x \leqq 2$の場合の値域は$-[][] \leqq y \leqq [][]$である．

$2$つの関数
\begin{eqnarray}
& & f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos x} \quad (\text{定義域は}-\pi<x<\pi) \nonumber \\
& & g(x)=\int_0^x \frac{2}{1+t^2} \, dt \quad (\text{定義域は実数全体}) \nonumber
\end{eqnarray}
と，これらの合成関数$h(x)=g(f(x))$を考える．次の各問に答えよ．

(1)$f(x),\ g(x),\ h(x)$のそれぞれの導関数を求めよ．
(2)$h(x)$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2+\sqrt{3}}} \frac{2}{1+t^2} \, dt$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\sin x+\frac{1}{2} \sin 2x$の定義域を$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \pi$とする．次の問に答えなさい．

(1)$f(x)>0$となる$x$の範囲と$f^\prime(x)>0$となる$x$の範囲を，それぞれ求めなさい．
(2)関数$y=f(x)$のグラフの概形を書きなさい．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi |f(x)| \, dx$の値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt{3}}$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とする．不等式
\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} < \frac{6}{a}+\frac{k}{b} \]
を満たす$k$の値の範囲を求めよ．
(2)$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．2次関数$f(x)=ax^2-2x+b$の定義域を$-1 \leqq x \leqq 2$とし，$f(-1)<f(2)$を満たすとする．関数$y=f(x)$の値域が$-1 \leqq y \leqq 7$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．

文字$x,\ y,\ z$の任意の整式$A$に対して，$x,\ y,\ z$をそれぞれ$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$に置き換えて得られる$\theta$の関数を$\widetilde{A}(\theta)$で表す．例えば，
\[ \begin{array}{lll}
P=x^5+z^4-xyz & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^5 \theta+\tan^4 \theta-\sin \theta \cos \theta \tan \theta, \\
P=x^2+y^2,\ Q=1 & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1=\widetilde{Q}(\theta)
\end{array} \]
である．ただし$\theta$の関数の定義域は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq 2\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$とする．

(1)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(2)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ．
(3)$P$を$x,\ y,\ z$の整式とする．$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき，および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき，$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば，$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ．収束とは，一定の実数に限りなく近づくことである．

関数$\displaystyle f(x)=x^3-3x^2-6x-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}$の定義域は$x>0$とする．
\[ x=\frac{[オ]\text{±}\sqrt{[カ]}}{[キ]} \text{のとき，関数} f(x) \text{は最小値}[ク]\text{をとる．} \]
ただし，$[キ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$8^{n-1}<10^{39}<8^n$を満たす自然数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さが$a=9$，$b=8$，$c=7$であるとき，$\sin A=[イ]$であり，この三角形の面積は$[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+kx+3=0$の$1$つの解が$\displaystyle \alpha=\frac{3-\sqrt{3}i}{2}$であるとき，実数$k$の値は$[エ]$である．また，$\alpha^5+\alpha^3+1$の値を求めると$[オ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^2 |x^2-1| \, dx=[カ]$である．また，関数$f(x)$がすべての実数$x$に対して等式$\displaystyle f(x)=|x^2-1|+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[キ]$である．
(5)$a,\ b$は実数で，$a<0$とする．$a \leqq x \leqq 3$を定義域とする$2$次関数$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2-x+b$の値域が$-5 \leqq y \leqq 3$であるとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．
(6)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=x^3-3ax^2-9a^2x+3a$の極小値が負になるとき，$a$のとりうる値の範囲は$[コ]$である．

関数$f(x)=\log_3(x+1)+\log_9(3-x)$を考える．次の$[　]$をうめよ．

(1)$f(x)$の定義域は$[$①$]$である．また，整式$g(x)=[$②$]$に対し，$f(x)=\log_9g(x)$となる．
(2)整数$n$に対し$f(n)$の値も整数とする．このとき，$n=[$③$]$であり，$f(n)$の値は$[$④$]$となる．$x$を整数と限らなければ，$f(x)=[$④$]$となるのは，ほかに$x=[$⑤$]$のときがある．

$2$次関数$\displaystyle f(x)=-x^2+2ax+\frac{1}{2}$について，以下の問に答えよ．ただし，$a \geqq 0$とする．

(1)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$の式で表せ．
(2)定義域$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の式で表せ．

$2$次関数$y=ax^2+8x+10-a$について考える（ただし，$a \neq 0$）．

(1)この$2$次関数のグラフが，$x$軸とただ一つの共有点を持ち，$a<7$ならば，$a=[　]$である．またこのとき，$2$次関数のグラフの軸は直線$x=-[　]$である．
(2)$a=4$のとき，定義域が$-2 \leqq x \leqq 1$の場合の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
(3)この$2$次関数のグラフの軸が直線$x=4$となるように$a$を定めたとき，頂点の$y$座標は$[　]$である．