「定義域」について
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（4ページ目：全56問中31問～40問を表示）
国立 広島大学 2012年 第1問$f(x)=\log_2 (x-1)+\log_2 (4-x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)不等式$f(x) \geqq 0$を解け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．
(4)(3)の$m$について，$1000^m$の整数部分の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．
国立 秋田大学 2012年 第3問$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第3問$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 小樽商科大学 2012年 第4問$-1<x<1$を定義域とする関数$\displaystyle f_p(x)=\frac{x-p}{1-px}$，$\displaystyle f_q(x)=\frac{x-q}{1-qx}$ \ $(-1<p<1,\ -1<q<1)$について，次の問いに答えよ．
(1)定義域内のすべての$x$に対して，$-1<f_q(x)<1$を示せ．
(2)定義域内のすべての$x$に対して，$\displaystyle f_p(f_q(x))=\frac{x-r}{1-rx}$を満たすとき，$r$を$p$と$q$を用いて表し，$-1<r<1$を示せ．ただし，$f_p(f_q(x))$は$\displaystyle f_p(y)=\frac{y-p}{1-py}$に$y=f_q(x)$を代入したものを意味するものとする．
(3)定義域内のすべての$x$に対して，$f_p(f_q(x))=f_q(x)$を満たす$p$を求めよ．
(1)定義域内のすべての$x$に対して，$-1<f_q(x)<1$を示せ．
(2)定義域内のすべての$x$に対して，$\displaystyle f_p(f_q(x))=\frac{x-r}{1-rx}$を満たすとき，$r$を$p$と$q$を用いて表し，$-1<r<1$を示せ．ただし，$f_p(f_q(x))$は$\displaystyle f_p(y)=\frac{y-p}{1-py}$に$y=f_q(x)$を代入したものを意味するものとする．
(3)定義域内のすべての$x$に対して，$f_p(f_q(x))=f_q(x)$を満たす$p$を求めよ．
私立 明治大学 2012年 第2問以下の$[ ]$にあてはまる値を答えよ．
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 -3x -1+|x^2-2x-3| \]
とおく．
(1)不等式$x^2-2x-3 \leqq 0$を解くと$[あ]$となる．
(2)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めると$[い]$となる．
(3)関数$y=f(x)$の定義域を$-2 \leqq x \leqq 5$とするとき，値域は$[う]$となる．
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 -3x -1+|x^2-2x-3| \]
とおく．
(1)不等式$x^2-2x-3 \leqq 0$を解くと$[あ]$となる．
(2)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めると$[い]$となる．
(3)関数$y=f(x)$の定義域を$-2 \leqq x \leqq 5$とするとき，値域は$[う]$となる．
私立 北海学園大学 2012年 第1問$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$の定義域を$-4 \leqq x \leqq 2$とする．曲線$y=f(x)$は$3$点$(2,\ 12)$，$(-1,\ -12)$，$(-3,\ -8)$を通る．ただし，$a,\ b,\ c$は定数とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$k$とする．放物線$y=px^2+qx+q$の頂点の座標が$(k,\ f(k))$であるとき，定数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$p \neq 0$とする．
(1)$a,\ b,\ c$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$k$とする．放物線$y=px^2+qx+q$の頂点の座標が$(k,\ f(k))$であるとき，定数$p$と$q$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$p \neq 0$とする．
私立 北海学園大学 2012年 第5問関数$f(x)=x^4+2x^3+ax^2+b$は$x=-2$で極値をとり，$f(-1)=5$を満たす．ただし，$a$と$b$は定数とする．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$-3 \leqq x \leqq 1$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
私立 北海学園大学 2012年 第4問$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は，$x=2$で極大値$20$をとる．ただし，$a$と$b$は定数とする．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．また，$f(x)$の極小値を求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$2$曲線$y=f(x)$，$y=x^3+27$，および$2$直線$x=1$，$x=5$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．また，$f(x)$の極小値を求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$2$曲線$y=f(x)$，$y=x^3+27$，および$2$直線$x=1$，$x=5$で囲まれた図形の面積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問以下の文章の空欄に適切な数，式または行列を入れて文章を完成させなさい．ただし$(2)$において，適切な行列が複数個ある場合は，それらをすべて記入しなさい．
(1)$a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[あ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{C}(1,\ 0)$はそれぞれ点$\mathrm{B}^\prime$と点$\mathrm{C}^\prime$に移されるとする．また$\mathrm{O}(0,\ 0)$を原点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，かつ$\triangle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{C}^\prime$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=[い]$である．
(3)媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{e^t+3e^{-t}}{2} \\ \\
y=e^t-2e^{-t}
\end{array} \right. \]
と表される曲線$C$の方程式は
\[ [う]x^2+[え]xy+[お]y^2=25 \]
である．
また曲線$C$の接線の傾きは，$t=[か]$に対応する点において$-2$となる．
(4)$\alpha>1$を実数とする．$0 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=[き]$である．また$\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} x(\alpha)=[く]$である．
(1)$a_1=1$，$a_2=4$，$a_{n+2}=-a_{n+1}+2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[あ]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{C}(1,\ 0)$はそれぞれ点$\mathrm{B}^\prime$と点$\mathrm{C}^\prime$に移されるとする．また$\mathrm{O}(0,\ 0)$を原点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OB}^\prime}=2 \overrightarrow{\mathrm{OB}}$，かつ$\triangle \mathrm{OB}^\prime \mathrm{C}^\prime$が正三角形となるような行列$A$をすべて求めると$A=[い]$である．
(3)媒介変数$t$を用いて
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=\displaystyle \frac{e^t+3e^{-t}}{2} \\ \\
y=e^t-2e^{-t}
\end{array} \right. \]
と表される曲線$C$の方程式は
\[ [う]x^2+[え]xy+[お]y^2=25 \]
である．
また曲線$C$の接線の傾きは，$t=[か]$に対応する点において$-2$となる．
(4)$\alpha>1$を実数とする．$0 \leqq x \leqq 1$を定義域とする関数$f(x)=x-x^\alpha$が最大値をとる点を$x(\alpha)$とすると$x(\alpha)=[き]$である．また$\displaystyle \lim_{\alpha \to 1+0} x(\alpha)=[く]$である．
私立 広島国際学院大学 2012年 第2問定義域$-2 \leqq x \leqq 3$において$2$次関数$f(x)=x^2+ax+3$を考える．$a$は定数である．
(1)$f(3)-f(-2)=-5$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$a$が$(1)$で求めた値をとるとき，定義域における$f(x)$の最大値と最小値，またそのときの$x$の値を求めなさい．
(1)$f(3)-f(-2)=-5$であるとき，$a$の値を求めなさい．
(2)$a$が$(1)$で求めた値をとるとき，定義域における$f(x)$の最大値と最小値，またそのときの$x$の値を求めなさい．