$0 \leqq x \leqq 2\pi$を定義域とする関数$f(x)=e^{ax} \sin x$が$\displaystyle x=\frac{5\pi}{3}$で極値をとるとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=[ホ]ue^{-u}+[マ]e^{-u}+[ミ]$であり，これより
\[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=[ム] \]
である．
(2)定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たしているとする．

(i) 任意の実数$x$に対して
\[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．

このとき$a=[メ]+[モ] \sqrt{[ヤ]}$であり，また
\[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \]
ただし，$A=[ユ]+[ヨ] \sqrt{[ラ]}$

\qquad $B=[リ]+[ル] \sqrt{[レ]}$
\qquad\,$k=[ロ]$

である．

$x>0,\ x \neq 1$を定義域とする次の$5$つの関数を考える．
\[ \frac{x^2+1}{2},\quad \frac{2x^2}{x^2+1},\quad x,\quad \left( \frac{x+1}{2} \right)^2,\quad \frac{x^2-1}{2 \log x} \]
このとき，次の問いに答えなさい．

(1)上の$5$つの関数の間に$[1]<[2]<[3]<[4]<[5]$の不等式が成立するとすれば，$[1]$から$[5]$にはどの関数が入るか．$x=2$を代入することによりそれらを決定しなさい．ただし，$\log 2=0.693 \cdots$とする．
(2)$[4]<[5]$の部分の不等式を証明しなさい．
(3)$[2]<[3]$の部分の不等式を証明しなさい．

$2$次関数$f(x)=-x^2+(2a-3)x-a^2+3a+4$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数の定数とする．

(1)関数$f(x)$の最大値を求めよ．また，そのときの$x$の値を$a$を用いて表せ．
(2)$0 \leqq x \leqq 2$における関数$f(x)$の最小値が$4$であるような，$a$の値をすべて求めよ．
(3)$a$が(2)で求めたそれぞれの値をとるとき，$y=f(x)$のグラフを原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ．ただし，$y=f(x)$の定義域は実数全体とする．

関数$y=f(x)$の定義域は$x \geqq 1$であり，すべての正の整数$n$に対し，

$n \leqq x<n+1$のとき，$f(x)=(-1)^n (x^2-5x)$

が成り立っている．

(1)関数$y=-x^2+5x (1 \leqq x<2)$の値域を求めよ．
(2)$f(a)=-4$であるような実数$a$の値をすべて求めよ．
(3)$1 \leqq x<6$における関数$y=f(x)$の最大値，最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle x+\frac{1}{x}=3$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[ア]$であり，$x^3-5x^2+7x-2=[イ]$である．
(2)定義域を$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$とするとき，$f(x)=\cos 3x+\sin 3x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)ある工業製品の価格が前年比で毎年$10 \;\%$ずつ下落している．現在の価格が$1000$円であるならば，$3$年後の価格は$[オ]$円となり，価格がはじめて$200$円を下回るのは$[カ]$年後である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，解答欄には整数値を入れよ．
(4)曲線$y=x^3+1$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接している．また，曲線$y=x^2+ax+1 (a<0)$も$\ell$と$\mathrm{A}$で接している．このとき，$a=[キ]$であり，$\ell$の方程式は$[ク]$である．
(5)定数$a$に対して，$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2+x-6$であるとき，$f(x)=[ケ]$，$a=[コ]$である．

$2$次関数$y=ax^2+bx+12 (a \neq 0)$のグラフがある．この関数のグラフの軸は，直線$x=-2$であるとする．

(1)この関数のグラフが点$(2,\ 0)$を通るならば，頂点の$y$座標は$[][]$である．
(2)定義域$-3 \leqq x \leqq 2$に対する値域が$-4 \leqq y \leqq 60$ならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．
(3)このグラフを$y$軸方向に$-4$だけ平行移動させたとき$x$軸と接するならば，$a=[][]$，$b=[][]$である．

$a,\ b$を$a^2b^3=64$を満たす正の実数とする．

(1)$(\log_2a)^2+\log_2b$の値が最小となるときの$a,\ b$の値は$a=[ツ]$，$b=[テ]$である．
(2)$c=b^{\log_2a+1}$とおく．$\log_2a=t$とおくとき，$\log_2c$は$t$を用いて$\log_2c=[ト]$と表される．$t$の関数$f(t)$を$f(t)=[ト]$と定めるとき，関数$f(t)$の最大値は$[ナ]$である．
(3)$k,\ l$を$0<k<1<l$を満たす実数とする．$(2)$で定めた関数$f(t)$の定義域を$k \leqq t \leqq l$としたとき，値域は$k \leqq f(t) \leqq l$になった．このとき，$k,\ l$の値は，$k=[ニ]$，$l=[ヌ]$である．

定義域を$0 \leqq x \leqq 2\pi$とする関数$f(x)=|\sin 2x-2 \sin x-2 \cos x+1|$がある．$t=\sin x+\cos x$とおき，$f(x)$を$t$で表した関数を$g(t)$とおく．

(1)関数$g(t)$を求めよ．
(2)$t$が取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$が取りうる値の範囲を求めよ．
(4)方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数$l$を$k$の値で場合分けして求めよ．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し，
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．

(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．