次の問いに答えなさい．

(1)次の方程式を解きなさい．
\[ \sqrt{5-2x}-x+2=0 \]
(2)次の不等式を満たす$t$の範囲を$\log_{10}2$を用いて求めなさい．
\[ \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{30}}<\frac{1}{10} \]
(3)次の関数を微分しなさい．
\[ y=x^2 \log_e x \]
(4)次の定積分の値を求めなさい．
\[ \int_0^1 xe^{-\frac{1}{2}x^2} \, dx \]

$2$次関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
とおく．$a$を正の数とし，$F(x)$が$x=a$と$x=-a$で極値をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての$x$について$F(-x)=-F(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$F(x)+F(a)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

(3)関数$\displaystyle \frac{F(x)}{F^\prime(0)}$の極大値を求めよ．

$\displaystyle F(x)=\int_0^x e^{-pt} \sin t \, dt$（$p$は正の定数）とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)関数$F(x)$を微分しなさい．
(2)関数$y=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）を微分しなさい．
(3)$F(x)=Ae^{-px} \cos x+Be^{-px} \sin x+C$（$A,\ B,\ C$は定数）と表すことができる．このとき，$A,\ B,\ C$の値を求めなさい．
ただし，$F(0)$，$F^\prime(0)$，$\displaystyle F^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)$の値を用いてよい．
(4)$T_n=|F(n\pi)-F((n-1)\pi)| (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$T_1,\ T_2$の値を求めなさい．
(5)$(4)$の$T_n$に対して$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$を求めなさい．

実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．

実数$\beta$は$\beta>1$を満たす定数とする．$x>0$に対し関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{x^{\beta}}$で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)$t>0$ならば$\displaystyle \frac{t^2}{2}<e^t$であることを用いて，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を求めよ．
(3)$a>1$を満たす実数$a$に対して，$\displaystyle I(a)=\int_1^a f(x) \, dx$とおくとき，$I(a)$を求めよ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}I(a)$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x>0$において，不等式$\log x<x$を示せ．
(2)$1<a<b$のとき，不等式
\[ \frac{1}{\log a}-\frac{1}{\log b}<\frac{b-a}{a(\log a)^2} \]
を示せ．
(3)$x \geqq e$において，不等式
\[ \int_e^x \frac{dt}{t \log (t+1)} \geqq \log (\log x)+\frac{1}{2(\log x)^2}-\frac{1}{2} \]
を示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

関数$f(x)=\langle\!\langle x \rangle\!\rangle-2 \langle\!\langle x-1 \rangle\!\rangle+\langle\!\langle x-2 \rangle\!\rangle$を考える．

ここで，実数$u$に対して$\displaystyle \langle\!\langle u \rangle\!\rangle=\frac{u+|u|}{2}$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフをかけ．

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$g(x)$の最大値を求めよ．

(3)$(2)$の$g(x)$に対して，$\displaystyle p(s)=\int_0^3 (x-s)^2 g(x) \, dx$とおくとき，$p(s)$の最小値を求めよ．

座標平面において，実数$x$に対して，$4$点$(x,\ 0)$，$(x+1,\ 0)$，$(x+1,\ 1)$，$(x,\ 1)$を頂点とする正方形で囲まれる領域を$A_x$とし，$A_1 \cap A_x$の面積を$f(x)$とおく．ただし，$A_1 \cap A_x$が空集合あるいは線分のときは，$f(x)=0$とする．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(x)$のグラフをかけ．

(2)$\displaystyle g(x)=\int_0^1 f(x-t) \, dt$とおくとき，$\displaystyle g \left( \frac{1}{2} \right)$，$g(2)$を求めよ．

(3)$(2)$の$g(x)$について，$\displaystyle \int_0^3 xg(x) \, dx$を求めよ．

自然数$n$と多項式$f(x)$に対して，$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1 x^{n-1}f(x) \, dx$で与えられる数列$\{a_n\}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$2$次式で$a_1=0$のとき，$a_3 \neq 0$を示せ．
(2)$f(x)$が$2$次式で$a_1=1$，$a_2=0$，$\displaystyle a_3=\frac{3}{5}$のとき，一般項$a_n$を求めよ．
(3)$f(x)$を$k$次式とする．$f(x)$の係数の絶対値のうち最大なものを$M$とおくとき，任意の自然数$n$に対して，$\displaystyle |a_{2n|} \leqq \frac{(k+1)M}{2n+1}$が成り立つことを示せ．
(4)任意の多項式$f(x)$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$が成り立つことを示せ．

関数$f(x)=\sin^{2n+2}x+4 \cos^{2n+2}x$（$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$，$n$は自然数）について以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx$はいくらか．

(2)$f(x)$の最小値はいくらか．