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国立 大阪教育大学 2016年 第3問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ．
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ．
(1)$\displaystyle \int_0^x \sin^3 t \, dt$を求めよ．
(2)関数$\displaystyle F(x)=\int_0^x (e^{3x}-e^{3t}) \sin^3 t \, dt$を$x$について微分せよ．
(3)$F^\prime(x) \geqq 0$を証明せよ．
国立 山形大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3)$(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5)次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
(1)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{1}{\sin x} \, dx \]
(2)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x-\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\sin x} \, dx \]
(3)$(1),\ (2)$の結果を用いて次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \frac{x}{\sin x} \, dx \]
(4)次の定積分を求めよ．
\[ \int_{\frac{1}{e}}^1 \left( 1+\frac{1}{x} \right) \log x \, dx \]
(5)次の等式を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=\sin^2 x+2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t \, dt \]
国立 静岡大学 2016年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$x>1$のとき$\log x<2 \sqrt{x}-2$を示し，これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$を求めよ．ただし，$\log$は自然対数を表す．
(2)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x} (x>0)$の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(3)定積分$I_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を以下で定義する．
\[ I_n=\int_1^e \frac{(\log x)^{n-1}}{x^2} \, dx \]
ただし，$e$は自然対数の底である．このとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+nI_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \quad \cdots \quad (*) \]
(4)等式$(*)$を用いて，関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$のグラフと$x$軸および直線$x=e$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 筑波大学 2016年 第4問関数$f(x)=2 \sqrt{x} e^{-x} (x \geqq 0)$について次の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい．
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$f^\prime(a)=0,\ f^{\prime\prime}(b)=0$を満たす$a,\ b$を求め，$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$であることは証明なしで用いてよい．
(2)$k \geqq 0$のとき$\displaystyle V(k)=\int_0^k xe^{-2x} \, dx$を$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた$a,\ b$に対して曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=b$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 群馬大学 2016年 第4問定数$a$は$0<a<1$とし，また$n$は正の整数とする．ただし，$n=1$のときは$(a-x)^{n-1}=1$とする．
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_n$を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ．
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_n$を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ．
国立 群馬大学 2016年 第3問定数$a$は$0<a<1$とし，また$n$は正の整数とする．ただし，$n=1$のときは$(a-x)^{n-1}=1$とする．
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_1$と$R_2$を求めよ．
(2)$R_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ．
\[ R_n=n \int_0^a \frac{(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}} \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$R_1$と$R_2$を求めよ．
(2)$R_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty R_n$の和を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第2問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のような，一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{OP}=x$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で，立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る．その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ．
\end{mawarikomi}
（図は省略）
}
図のような，一辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える．対角線$\mathrm{OF}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{OP}=x$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通り対角線$\mathrm{OF}$と直交する平面で，立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を切る．その切り口の多角形の面積$S(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)関数$y=S(x)$のグラフをかけ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} S(x) \, dx$を求めよ．
\end{mawarikomi}
国立 埼玉大学 2016年 第4問$2$次関数$f(x)$に対して，関数$F(x)$を
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
と定める．方程式$F(x)=0$は異なる$3$つの実数解をもつとする．これらの解のうち，最大の解と最小の解の絶対値は一致する．このとき，$2$次方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示しなさい．
国立 信州大学 2016年 第5問$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．
国立 信州大学 2016年 第3問$n$を自然数とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．
(1)$\displaystyle \int_0^1 (1-x^2)^n \, dx=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．
(2)$\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}$を示せ．