次の$[　]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \int_0^2 |x^2-3x+2| \, dx=[ア]$．

(2)$\displaystyle \left( x^2-\frac{1}{2x} \right)^5$の$x$の項の係数は$\displaystyle \frac{[イウ]}{[エ]}$で，$x^7$の項の係数は$\displaystyle \frac{[オカ]}{[キ]}$である．

(3)$\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{(x-1)(x^2-x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$は$x$について恒等式である．このとき，$A$，$B$，$C$は，
\[ A=[ク],\quad B=[ケコ],\quad C=[サ] \]
である．
(4)方程式$x(x+1)(x+2)=60$の解は，$x=[シ],\ [スセ] \pm \sqrt{[ソタ]}i$である．
(5)$\displaystyle -1,\ \frac{3}{2},\ -1+i,\ -1-i$が$4$次方程式$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$の解であるとき，
\[ a=\frac{[チ]}{[ツ]},\quad b=\frac{[テト]}{[ナ]},\quad c=[ニヌ],\quad d=[ネノ] \]
である．
(6)関数$y=4^x-2^{x+1}+3 (-1 \leqq x \leqq 2)$は，$x=[ハ]$のとき，最大値$[ヒフ]$をとり，$x=[ヘ]$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(7)$f^\prime(a)$が存在するとき，


$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}=[マ]f^\prime(a),$

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}=[ミ]f^\prime(a)$


が成り立つ．

$x \geqq 0$に対して，$\displaystyle f(x)=\int_0^{2x} |t(t-x)| \, dt-\frac{9}{2}x^2+6x+\frac{1}{2}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$の$3$次式で表せ．
(2)$f(x)-a=0$が互いに異なる$3$つの実数解をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

$a$を正の定数，$e$を自然対数の底として，$\displaystyle f(x)=\int_0^a |xe^x-te^t| \, dt (0 \leqq x \leqq a)$とする．以下の$[　]$にあてはまる適切な数，または式を記入しなさい．また，$(2)$に答えなさい．

(1)$f(0)=[　]$であり，$f(a)=[　]$である．
(2)$f(x)$を$a$と$x$を用いた式で表せ（途中の計算式も合わせて記載せよ）．
(3)$f^\prime(x)=0$のとき，$x=[　]$である．
(4)$f(x)$の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．

等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，

$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．

等式
\[ f^\prime(x)=x^2+2 \left( \int_0^1 f(t) \, dt \right) x \]
を満たす関数$y=f(x)$を考える．$\displaystyle c=\int_0^1 f(t) \, dt$とおく．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^3+cx^2+\left( \frac{[ア]}{[イ]}c-\frac{[ウ]}{[エオ]} \right)$であり，

$f(0)=1$のとき，$\displaystyle c=\frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(2)$c<0$とし，$f(x)$は$0 \leqq x \leqq 1$において$x=1$で最大値をとるものとする．このとき，$c$のとりうる最小の値は
\[ \frac{[ケコ]}{[サ]} \]
であり，$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最小値は$c$を用いて
\[ \frac{[シ]}{[ス]} c^{\mkakko{セ}}+\frac{[ソ]}{[タ]}c-\frac{[チ]}{[ツテ]} \]
と表すことができる．
(3)座標平面において，関数$y=f(x)$のグラフと直線
\[ y=-\frac{3}{4}c^2x-\frac{1}{12} \]
が点$(-1,\ f(-1))$で接するとき，$c=[ト]$である．このとき，$2$つのグラフのもう$1$つの共有点の$x$座標は$[ナニ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$0$以上の整数$n$に対し，$\displaystyle C_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$とおくとき，$\displaystyle C_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}C_n$を示せ．ただし，$\cos^0 x=1$と定める．
(2)座標空間内で，連立不等式
\[ x^2+y^2 \leqq 1,\quad z+2x^2-x^4 \leqq 1,\quad x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad z \geqq 0 \]
の表す領域の体積を求めよ．

関数$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1} |t^2-2t| \, dt (x \geqq 0)$に対して，以下の問いに答えよ．

(1)$F(0)$を求めよ．
(2)$x>0$に対して，$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(3)$F(x)$の最小値とそのときの$x$を求めよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^a |\sin x-\sin t| \, dx$とおく．また，$f(t)$の$0<t<a$における最小値を$g(a)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$0<t<a$のとき，$f(t)$を求めよ．
(2)$g(a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{g(a)}{a^2}$を求めよ．

$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$の範囲で定義された関数$f(x)$は次の等式をみたすとする．
\[ f(x)=2x-\tan x+\int_0^{\frac{\pi}{6}} f(t) \cos t \, dt \]
以下の問いに答えなさい．

(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めなさい．
(2)$f(0)$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$における$f(x)$の最大値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{2x+5}{x+2} (0 \leqq x \leqq 2)$の逆関数を求めよ．また，その定義域を求めよ．
(2)次の関数の導関数を求めよ．
\[ y=\frac{e^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{\sin x}} \]
(3)次の不定積分，定積分を求めよ．


(i) $\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x} \, dx$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x}{(2x+1)^2} \, dx$