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奈良教育大学 国立 奈良教育大学 2015年 第4問
$1$つの円が定直線に接しながらすべることなく回転するとき,円周上の定点$\mathrm{P}$のえがく軌跡をサイクロイドという.
(図は省略)

上の図を参考に,以下の設問に答えよ.

(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円,定直線を$x$軸とし,円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき,定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする.円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき,円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ.
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき,$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ.
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において,$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡(サイクロイド)と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ.
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