「定理」について
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公立 横浜市立大学 2016年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)ド・モアブルの定理を用いて
\[ \sin (7\theta) \]
を$\sin \theta,\ \cos \theta$およびそれらの累乗で表わせ．
(2)$3$次方程式
\[ 7x^3-35x^2+21x-1=0 \]
を解け．
(3)和
\[ \frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{3\pi}{7}} \]
を求めよ．
(1)ド・モアブルの定理を用いて
\[ \sin (7\theta) \]
を$\sin \theta,\ \cos \theta$およびそれらの累乗で表わせ．
(2)$3$次方程式
\[ 7x^3-35x^2+21x-1=0 \]
を解け．
(3)和
\[ \frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\tan^2 \displaystyle\frac{3\pi}{7}} \]
を求めよ．
国立 富山大学 2014年 第3問実数を成分とする$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(A)=a+d$，$\Delta(A)=ad-bc$と定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．
(1)等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．
(2)実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を満たすとし，$\alpha=T(X)$，$\beta=\Delta(X)$とおく．
(i) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $(X^2Y-YX^2)^2=E$，$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$に対して，$T(A)=a+d$，$\Delta(A)=ad-bc$と定める．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とする．
(1)等式$A^2-T(A)A+\Delta(A)E=O$が成り立つこと（ハミルトン・ケーリーの定理）を示せ．
(2)実数を成分とする$2$次の正方行列$X,\ Y$が$XY-YX=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を満たすとし，$\alpha=T(X)$，$\beta=\Delta(X)$とおく．
(i) $X^2Y-YX^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(ii) $(X^2Y-YX^2)^2=E$，$X^4+X^2+E=O$が成り立つとき，$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第2問次の定理について以下の問いに答えなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第2問次の定理について以下の問いに答えなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
私立 成城大学 2013年 第2問円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする（$a>b$，$b<c$）．下図のように，円周上に$\mathrm{D}$を，$\angle \mathrm{DBA}=\angle \mathrm{ABC}$となるようにとり，$\mathrm{BD}$を延長した直線と$\mathrm{CA}$を延長した直線が交わる点を$\mathrm{P}$とする．$a,\ b,\ c$を用いた式で空欄$[ア]$～$[コ]$を埋めよ．
$\mathrm{DP}$上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{DQA}=\angle \mathrm{BAC}$となるようにとる．四角形$\mathrm{ADBC}$は円に内接しているので，$\angle \mathrm{BDA}$と$\angle \mathrm{BCA}$の和は${180}^\circ$であるから，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\triangle \mathrm{QAD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似である．また，$\mathrm{AD}=[ア]$だから，$\mathrm{QD}=[イ]$である．
$\angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{BAC}$，$\angle \mathrm{QBA}=\angle \mathrm{ABC}$であるから，$\triangle \mathrm{QBA}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似であり，よって$\mathrm{QB}=[ウ]$となり，$\mathrm{BD}=\mathrm{QB}-\mathrm{QD}$だから，$\mathrm{BD}=[エ]$となる．
また，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\angle \mathrm{P}$は共通より，$\triangle \mathrm{PAD}$と$\triangle \mathrm{PBC}$は相似であるから，$\mathrm{DP}:\mathrm{CP}=[オ]:[カ]$となる．$\mathrm{CP}=\mathrm{AP}+[キ]$より，$\mathrm{DP}=[ク] \mathrm{AP}+[ケ]$となる．方べきの定理より，$\mathrm{DP} \cdot \mathrm{BP}=\mathrm{AP} \cdot \mathrm{CP}$であり，これを$\mathrm{AP}$について解くと$\mathrm{AP}=[コ]$となる．
（図は省略）
$\mathrm{DP}$上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{DQA}=\angle \mathrm{BAC}$となるようにとる．四角形$\mathrm{ADBC}$は円に内接しているので，$\angle \mathrm{BDA}$と$\angle \mathrm{BCA}$の和は${180}^\circ$であるから，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\triangle \mathrm{QAD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似である．また，$\mathrm{AD}=[ア]$だから，$\mathrm{QD}=[イ]$である．
$\angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{BAC}$，$\angle \mathrm{QBA}=\angle \mathrm{ABC}$であるから，$\triangle \mathrm{QBA}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似であり，よって$\mathrm{QB}=[ウ]$となり，$\mathrm{BD}=\mathrm{QB}-\mathrm{QD}$だから，$\mathrm{BD}=[エ]$となる．
また，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\angle \mathrm{P}$は共通より，$\triangle \mathrm{PAD}$と$\triangle \mathrm{PBC}$は相似であるから，$\mathrm{DP}:\mathrm{CP}=[オ]:[カ]$となる．$\mathrm{CP}=\mathrm{AP}+[キ]$より，$\mathrm{DP}=[ク] \mathrm{AP}+[ケ]$となる．方べきの定理より，$\mathrm{DP} \cdot \mathrm{BP}=\mathrm{AP} \cdot \mathrm{CP}$であり，これを$\mathrm{AP}$について解くと$\mathrm{AP}=[コ]$となる．
（図は省略）
国立 佐賀大学 2010年 第3問次の定理を証明せよ．
「三角形の3本の中線は1点で交わり，各中線はその交点でそれぞれ$2:1$に内分される．」
「三角形の3本の中線は1点で交わり，各中線はその交点でそれぞれ$2:1$に内分される．」