定数$k$は$k > 1$をみたすとする．$xy$平面上の点A$(1,\ 0)$を通り$x$軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を，2点X，Yが$\text{AY} = k \text{AX}$をみたしながら動いている．原点O$(0,\ 0)$を中心とする半径1の円と線分OX，OYが交わる点をそれぞれP，Qとするとき，$\triangle$OPQの面積の最大値を$k$を用いて表せ．

$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

実数$x$の関数$f(x) = |x−1|(x−2)$を考える．$y = f(x)$のグラフと直線$y = x+a$との共有点の個数は，定数$a$の値によって，どのように変わるかを調べよ．

$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$を定数とし，$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を次の式で定める．
\[ \begin{array}{l}
a_1=p,\quad a_{n+1}=2a_n \\
b_1=q,\quad b_{n+1}=3a_n+b_n
\end{array}
\quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 0 \\
3 & 1
\end{array} \right)$について，$A^n$を求めよ．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$とする．

曲線$y = ax^3$と曲線$y = 5 \log x$が接しているとする．ただし，$a$は正の定数で，対数は自然対数である．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$つの曲線および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

数列$\{a_n\}$を，
\begin{eqnarray}
& & a_1=1, \nonumber \\
& & (n+3)a_{n+1}-na_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{eqnarray}
によって定める．

(1)$b_n=n(n+1)(n+2)a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)等式
\[ p(n+1)(n+2)+qn(n+2)+rn(n+1)=b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つように，定数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を$n$の式で表せ．

$d$を正の定数とする．2点A$(-d,\ 0)$，B$(d,\ 0)$からの距離の和が$4d$である点Pの軌跡として定まる楕円$E$を考える．点A，点B，原点Oから楕円$E$上の点Pまでの距離をそれぞれAP，BP，OPと書く．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)楕円$E$の長軸と短軸の長さを求めよ．
(2)$\text{AP}^2+\text{BP}^2$および$\text{AP} \cdot \text{BP}$を，OPと$d$を用いて表せ．
(3)点Pが楕円$E$全体を動くとき，$\text{AP}^3+\text{BP}^3$の最大値と最小値を$d$を用いて表せ．

$p,\ q$を定数とし，$p$は$0$でないとする．$2$つの放物線$y=4x^2+3px+5q$と$y=3x^2+2px+4q$が，異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{MN}$の傾きを$p$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$となるとき，$q$を$p$の式で表せ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面の原点を表す．

2つの曲線
\[ C_1:y=2x^2,\quad C_2:y=-\frac{1}{4}x^2 \]
と2つの直線
\[ \ell_1:y=ax+t-1,\quad \ell_2:y=bx+t \]
があり，$\ell_1$は$C_1$に接し，$\ell_2$は$C_2$に接している．ただし，$a,\ b,\ t$は定数で，$a>0,\ b>0,\ 0<t<1$を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a$および$b$をそれぞれ$t$で表せ．
(2)$C_1,\ \ell_1$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_1$と，$C_2,\ \ell_2$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S_2$が等しくなるときの$t$の値を求めよ．