$f(x)$を区間$[0,\ \infty )$上の連続関数とする．この区間上の$f(x)$の積分を
\[ \int_0^\infty f(x) \, dx=\lim_{R \to \infty} \int_0^R f(x) \, dx \]
とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$を正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)} \, dx$を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$を相異なる正の定数として，積分$\displaystyle \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx$を（結果の表示を簡潔にするため）
\[ \int_0^\infty \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)} \, dx=A \log a+B \log b+C \log c \]
とおく．$A,\ B,\ C$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $

$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）

関数$f(x)$は$c$を定数とし，$\displaystyle f(x)=3x^2-\int_0^1 (2x-t)f^\prime(t) \, dt-c$を満たすものとする．また，$3$次関数$g(x)$は，$\displaystyle g(x)=\int_1^x g^\prime(t) \, dt$，$g(0)=-1$，$g^\prime(1)+g^\prime(0)=3$，$g^\prime(1)-g^\prime(0)=5$を満たすものとする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を定数$c$を用いて表せ．
(2)関数$g(x)$を求めよ．
(3)$x \geqq -1$のとき，常に$g(x) \geqq f(x)$を満たす定数$c$の値の範囲を求めよ．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に適する数値，式を記せ．

(1)$1$次不等式$8 |x-1|<3x+4$を満たす$x$の範囲は，$[ア]<x<[イ]$である．
(2)放物線$y=3x^2$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動した後に，$x$軸に関して対称移動したところ，$y=-3x^2+18x-25$となった．このとき，$p=[ウ]$，$q=[エ]$である．
(3)$2$次不等式$x^2+2(a+2)x+2a^2+a-6>0$が任意の実数$x$に対して成り立つような定数$a$の値の範囲は，$a<[オ]$，$[カ]<a$である．
(4)$8 \cos^2 \theta-2 \sin \theta-5=0 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$を満たす$\theta$は，$[キ]$と$[ク]$である．
(5)$9$冊の異なる本を$4$冊，$3$冊，$2$冊の$3$組に分ける方法は$[ケ]$通りある．また，$3$冊ずつ$3$組に分ける方法は$[コ]$通りある．

$a$を定数とし，$f(x)=x^5-5x^3+ax$とする．方程式$f(x)=0$は異なる$5$つの実数解をもち，これらを$x_1<x_2<x_3<x_4<x_5$とする．この$5$つの解は等差数列をなしており，その総和は$0$である．次の問に答えなさい．

(1)$x_3=0$を示せ．
(2)$a$の値を求めよ．
(3)$x_1,\ x_2,\ x_4,\ x_5$を求めよ．

$xy$平面上に放物線$C:y=-3x^2+3$と2点A$(1,\ 0)$，P$(0,\ 3p)$がある．線分APと$C$は，Aとは異なる点Qを共有している．

(1)定数$p$の存在する範囲を求めよ．
(2)$S_1$を，$C$と線分AQで囲まれた領域とし，$S_2$を，$C$，線分QP，および$y$軸とで囲まれた領域とする．$S_1$と$S_2$の面積の和が最小となる$p$の値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を正の定数とする．空間内に3点A$(a,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ b,\ 0)$，C$(0,\ 0,\ c)$がある．

(1)辺ABを底辺とするとき，$\triangle$ABCの高さを$a,\ b,\ c$で表せ．
(2)$\triangle$ABC，$\triangle$OAB，$\triangle$OBC，$\triangle$OCAの面積をそれぞれ$S,\ S_1,\ S_2,\ S_3$とする．ただし，Oは原点である．このとき，不等式
\[ \sqrt{3}S \geqq S_1 +S_2+S_3 \]
が成り立つことを示せ．
(3)(2)の不等式において等号が成り立つための条件を求めよ．

$a$を正の定数とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=(x^2+2x+2-a^2)e^{-x}$の極大値および極小値を求めよ．
(2)$x \geqq 3$のとき，不等式$x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$が成り立つことを示せ．さらに，極限値
\[ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} \]
を求めよ．
(3)$k$を定数とする．$y=x^2+2x+2$のグラフと$y=ke^x+a^2$のグラフが異なる$3$点で交わるための必要十分条件を，$a$と$k$を用いて表せ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3-3x^2-4x+k$について，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数とする．

(1)$f(x)$が極値をとるときの$x$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの整数解をもつとき，$k$の値およびその整数解を求めよ．